Modelando el clima de La Luna

Las dos entradas anteriores sólo han sido una manera muy indirecta y desorganizada de llegar a un modelo muy idealizado para calcular la temperatura de la superficie terrestre, que podemos resumir en la siguiente figura.

equlibrioradiativo

La idea era darle un contexto histórico a las estimaciones de las cantidades que ahí aparecen. Es siempre conveniente trazar la historia de una disciplina para hacerse una idea de la solidez (o falta de ella) de los conceptos y cantidades que estamos utilizando.

El modelo idealizado nos lleva a una temperatura de la superficie de -18ºC. Como la temperatura media real se estima en unos 15ºC, el modelo ya resulta útil —recuerden que todos los modelos son falsos y que hay que extraer de ellos las enseñanzas útiles— para darnos cuentas que estamos pasando por algo algo relevante en el balance de energía del planeta. La respuesta obvia ya la conocen todos, pero vayamos con posibilidades menos obvias.

No es el efecto invernadero;  Se trata de … [Insert Coin]

Una posibilidad para aumentar la temperatura de la superficie sería el calor procedente del interior de la Tierra. La estimación más reciente del flujo total en superficie del calor del interior de la Tierra es de 47±2 TW. Parece mucho en términos absolutos, pero si promediamos por unidad de superficie tocan a algo menos de 0,1 W/m², mucho menor que incluso el error de la estimación de la constante solar. So long and thanks for all the fish!

Otra posibilidad es que los materiales que forman la corteza terrestre almacenen el calor y lo distribuyan a lo largo de su superficie. De hecho, eso es lo que hacen en parte los océanos y las grandes corrientes oceánicas: distribuyen el calor a lo largo del planeta. Pero el agua es complicada, porque se evapora y actúa como gas de efecto invernadero y se condensa creando nubes. O se congela y crea nieve y hielo. No estamos aún preparados para enfrentarnos a tanta complicación. Así que vamos a fijarnos en el clima de en objeto aparentemente sencillo de modelar: la Luna.

Nuestro modelo aplicado a la Luna

Para utilizar nuestro modelo en la Luna, sólo tenemos que cambiar el dato del albedo por el de La Luna, medido en aprox. 0,14. Así, la potencia media superficial será

(1-0,14) 340 = 293 W/m²

Lo que nos lleva a una temperatura de equilibrio de

T_{e}=64,8\, \sqrt[4]{293}\, =\, 268 K

o unos -5 ºC

En Wikipedia tenemos algunos datos de la distribución de temperaturas de la superficie lunar.

Temperatura superficial min media max
Ecuador 100 K 220 K 390 K
85°N 70 K 130 K 230 K

La Luna obviamente posee un clima mucho más complejo que nuestro modelo básico.  La única predicción del modelo era la de una temperatura global de equilibrio.

¿Cómo podemos mejorar el modelo para hacer alguna predicción de una distribución de temperaturas?

Un primer intento trivial

La velocidad de rotación de la Luna es muy lenta. Recuerde el lector que, debido a la típica resonancia provocada por la fricción de las fuerzas de marea debidas al tamaño de La Tierra, el periodo de rotación lunar es igual a su periodo de traslación, unos 28 días en números redondos. Por eso la Luna nos ofrece muy aproximadamente siempre la misma cara.

Debido a esa rotación lenta, podríamos asumir que sólo la mitad de la superficie recibe luz solar a una media de 600 W/m² en números redondos, mientras que la cara oculta a los rayos solares está completamente a oscuras. Eso nos daría lógicamente un contraste entre ambas caras de 320 K y 0 K. Ya tenemos un primer clima lunar modelado sencillo. El lector pensará, con toda la razón, que para este viaje no hacían falta alforjas.

UN modelo más elaborado

Tengamos ahora en cuenta ahora dos cosas:

  • La rotación de la Luna (28 días)
  • La capacidad calorífica del suelo lunar

Si recuerdan la física de bachillerato (aunque la idea es obvia igualmente) los materiales pueden retener calor aumentando su temperatura. La relación entre el calor absorbido y el incremento de temperatura es lo que denominamos capacidad calorífica, de tal forma que podemos poner

Q = C ΔT = C (T2–T1)

donde T2 es la temperatura final alcanzada y T1 la inicial.

Podemos pensar así en 1 m² de superficie lunar absorbiendo parte del flujo solar incidente S cos θ de tal manera que la relación de equilibrio sería

Potencia absorbida = Potencia solar incidente – Potencia radiante

moonequilibrium

o expresado matemáticamente

C ΔT = S cos θ – σ T⁴

La potencia superficial absorbida es calor por unidad de tiempo y superficie, por lo que la capacidad calorífica C la mediremos en (W/m²)/K

La potencia solar superficial al mediodía lunar, será la constante solar menos el albedo, es decir

S = (1–0,14) 1361 W/m² = 1170 W/m²

Después de que la Luna haya rotado un determinado ángulo (como representamos en la imagen anterior), lógicamente el Sol ya no lucirá sobre la vertical y su potencia superficial se reducirá a S cos θ.

La irradiancia solar será cero desde la puesta de sol (θ=π/2) hasta la salida del Sol (θ=3π/2)

Iniciamos así los cálculo en el mediodía Lunar y calculamos la temperatura de equilibrio sin considerar la capacidad calorífica

T_{1}=\sqrt[4]{\frac{1170}{5,67\times 10^{-8}}}=379 K

Y tomamos T1 como valor inicial de temperatura

En el siguiente paso (para el que tomaremos 1 día terrestre, de tal manera que el día lunar será de 28 días terrestres en números redondos) calcularemos la nueva temperatura como

T_{2}=T1+\frac{1}{C}(1170\: cos(2\pi\times\frac{1}{28})-5,67\times 10^{-8}\: T_{1}^{4})

Para T1 = 379 y C = 10 (W/m²)/K por ejemplo, tendríamos T2 = 376 K

Implementando el modelo en Sagemath cloud.

SAGE es una de las mejores aplicaciones de cálculo numérico/simbólico en el panorama de software. Tiene la ventaja de estar basada en una cantidad enorme de paquetes de software libre y de poderse utilizar online de manera gratuita. Incluye además entornos como ipython y R. El lector dispone de manuales de uso básico (incluyendo manuales de iniciación en español) en la página de ayuda.

En el enlace se puede descargar el archivo de sagemath con el código que implementa el modelo. También se puede ver el archivo de texto con el código.

RESULTADOS

En la gráfica a continuación podemos ver el resultado de aplicar el modelo para una capacidad calorífica C = 10 (W/m²)/K . En la superior se representa la variación de la irradiancia solar comparada con la temperatura para varias rotaciones de la Luna. En la inferior vemos la variación de temperaturas calculadas en un día lunar avanzada en el ciclo de rotaciones. La razón es para asegurar la convergencia de los valores al equilibrio. Se indican además las temperaturas máximas (rojo), mínimas (azul) y promedio (verde), calculada como la media de todas la temperaturas del ciclo.

moontemp10c

A continuación se representan los valores proporcionados por el equipo del experimento DIVINER para varias latitudes lunares.

Fuente: http://diviner.ucla.edu/science.html

Con lo que el modelo parece no estarlo haciendo nada mal.

Veamos lo que sucede si aumentamos la capacidad calorífica del suelo lunar en un orden de magnitud a C=100 (W/m²)/K

moontemp100c

Observamos que las variación de la temperatura es más moderada (como por otro lado cabría esperarse si uno piensa en el efecto del mar sobre las temperaturas nocturnas, aquí en la Tierra). Se produce un ascenso de la temperatura media (ver sin embargo referencias más abajo)

Eso es un indicador de que la capacidad calorífica del suelo lunar es realmente baja.

Algunas aclaraciones y una pregunta importante.

¿Qué significa una capacidad calorífica de 10 (W/m²)/K ? Como nuestro tiempo de paso es de 1 día terrestre, podemos convertir a unidades de energía como 10×24h×3600 s = 864000 J/K que absorbe cada metro de superficie del suelo lunar.

Eso sería equivalente a una superficie lunar de agua de unos 20 cm de profundidad. En realidad, el modelo muestra que la capacidad calorífica del suelo lunar es todavía más baja, probablemente en 1 orden de magnitud. Tengo que investigar por qué el algoritmo empieza a dar problemas para valores menores de C ~ 7, aunque probablemente se deba a una cuestión de redondeo, a los que no he prestado demasiada atención.

En la página de DIVINER se comenta algo muy interesante: Las medidas realizadas por las misiones Apollo 15 y 17 revelaron una baja conductividad térmica del suelo lunar en los primeros 1-2 cm. La temperatura medida a 35 cm de profundidad era unos 40-45 K mayor que en superficie. Y a una profundidad de 80 cm, las variaciones de temperatura durante del día lunar eran imperceptibles.

La combinación de las propiedades de conductividad y capacidad caloríficas pueden sintetizarse en lo que se denomina inercia térmica, discutida por encima en la referencia 3.

La pregunta interesante de todo esto es: ¿qué ocurre si aplicamos este modelo simple a un planeta, el nuestro, cubierto en gran parte de agua con una profundidad media de 4 km? ¿Podría ser esa la explicación que estamos buscando para la diferencia entre la temperatura media del planeta y la de equilibrio de nuestro modelo básico de equilibrio radiativo?

Algunas referencias para profundizar

  1. Arthur P. Smith 2008. Proof of the Atmospheric Greenhouse Effect en el que se analiza el mismo modelo térmico y podemos encontrar una interesante discusión del significado de la temperatura media y la temperatura efectiva de equilibrio radiativo y aparentemente demuestra que es imposible aumentar la primera por encima de la segunda.
  2. Lunar Madness and Physics Basics. The Science of Doom, donde se analiza el mismo modelo y se discute el significado de la temperatura media versus la temperatura de equilibrio radiativo.
  3. Measurement of Properties of the Lunar Surface Using the Diviner Lunar Radiometer Experiment donde se discute en la introducción el papel de la inercia térmica del suelo y las rocas lunares.
  4. ESTIMATION OF THE SURFACE TEMPERATURE OF FLAT AREAS ON THE MOON. Modelo mucho más elaborado que incluye conductividad térmica, variaciones de la irradiancia solar y reflexión de la Tierra. Los autores parece que son colaboradores del programa lunar chino.
  5. John R. Spencer ha trabajado en modelos más elaborados que incluyen los accidentes de la superficie lunar. Por ejemplo.
  6. Modelos climáticos aplicados a exolunas como el de Duncan Forgan & Vergil Yotov 2014
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Modelando el clima de La Luna

4 thoughts on “Modelando el clima de La Luna

  1. Sí, había leído el artículo original de Trenberth en su momento, uno de los climatólogos a los que hay que prestar mucha atención. Lo malo es que ciertos sectores han leído en ese artículo una especie de confirmación de su obsesión con la pausa del calentamiento global, cuando lo cierto es que esto de las pausas es una cuestión de definición y sobre todo cuál es el periodo seleccionado. Pero creo que Trenberth es especialmente claro al respecto.

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