El origen del gradiente térmico de la troposfera

gradvenus

¿Por qué la temperatura de la troposfera disminuye con la altitud unos 6,5 ºC/km? Pregunta sencilla con respuesta no tan sencilla que nos llevará a algunos planetas del Sistema Solar e incluso a algún planeta imaginario.

Empecemos imaginando un planeta como la Tierra con una atmósfera de nitrógeno puro. La idea no parece en principio tan descabellada, puesto que la atmósfera de nuestro planeta contiene un 78% de N2 y en nuestro Sistema Solar tenemos un satélite (Titán) cuya atmósfera contiene un 98,4% de este gas. El nitrógeno, como sabemos, es transparente a la radiación solar y al infrarrojo emitido por la superficie terrestre, por lo que no produce ningún tipo de efecto invernadero.

Como dicha atmósfera de nitrógeno puro no emitiría ni absorbería radiación térmica (ver, sin embargo, anotación [1]), sería la superficie la encarga de radiar energía a la temperatura de equilibrio con la radiación solar, es decir, 255 K. Parecería así que la atmósfera debería tender al equilibrio isotermo, es decir, a una temperatura constante de 255 K.

La única manera que tiene la atmósfera de mover energía verticalmente en esas condiciones es mediante conducción y convección. La conducción térmica en el aire (y en el nitrógeno) es extremadamente ineficiente y una atmósfera isoterma es perfectamente estable ante movimientos convectivos.[2]

¿Qué ocurre si introducimos gases de efecto invernadero aunque sea en muy poca cantidad? En tal caso la atmósfera puede emitir/absorber radiación. Y ya sabemos que entonces entra en juego el transporte radiativo cuyo equilibrio condiciona la variación de la temperatura con la presión (altitud). El gradiente térmico estaría empujado así a adoptar la condición de equilibrio radiativo, pero la inestabilidad convectiva creada tenderá a mezclar el aire verticalmente y así amortiguar el efecto que trata de imponer el equilibrio radiativo.

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El aire cercano a la superficie tiende entonces a calentarse . El aire caliente asciende, expandiéndose y enfriándose debido a la disminución de presión con la altitud. Este movimiento de aire va enfriando el aire de las capas elevadas hasta que cesa el movimiento. Se puede calcular el gradiente de temperatura en el equilibrio de estabilidad provocado por este mecanismo, con la condición de que durante el tiempo de movimiento de la celda de aire no intercambie energía con el entorno, proceso que se conoce como adiabático.

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Fuente de la imagen

Por supuesto se trata de una idealización que funciona bastante bien porque la convección es mucho más rápida que la conducción.

Veamos cómo varía la temperatura con la presión debido a este enfriamiento adiabático para aire seco. El lector menos interesado en las matemáticas, puede obviar los cálculos y quedarse con el resultado.


La primera ley de la termodinámica implica que un gas la expandirse realiza trabajo sobre el entorno (= P · dV) y disminuye su temperatura, disminuyendo su energía interna en una cantidad proporcional a la disminución de dicha temperatura (= n CV dT), de tal manera que en un proceso adiabático (donde no se intercambia calor) el  cambio de energía interna sea exactamente igual al trabajo realizado sobre el entorno

n CV dT = – P · dV    [1]

n es el número de moles y CV el calor específico molar a volumen constante. El signo negativo es coherente con el hecho del enfriamiento (dT < 0)

Considerando al aire como un gas ideal, podemos utilizar la ecuación de estado P V = n R T para sustituir en la relación anterior, después de diferenciar como P dV + V dP = n R dT

n CV dT = V dP – n R dT ⇒ V dP = n (R+CV)dT = n CP dT   [2]

con CP el calor específico molar a presión constante

Introduzcamos ahora la ecuación de equilibrio hidrostático

dP/dz = -ρ g = – μ n g / V ⇒ V dP = – μ n g dz   [3]

donde μ es el peso molecular medio en kg/mol.

Sustituyendo [3] en [2] obtenemos

n CP dT = – μ n g dz ⇒ dT/dz = – μ g/C = – g/cP

donde ahora cP es el calor específico por unidad de masa. La relación

dT/dz = – g/cP

se conoce como gradiente térmico adiabático. Vemos que el resultado es tan simple como una variación lineal de la temperatura con la altitud con una pendiente constante dada por

– g/cP

Hagamos ahora una estimación teórica del valor de esa pendiente. Para ello tenemos que recordar que, según el teorema de equipartición,  cada grado de libertad  contribuye con 1/2 k T por partícula a la energía interna de un sistema, o en términos molares 1/2 n R T. El aire está compuesto principalmente por moléculas diatómicas (N2 y O2) con tres grados de libertad de traslación (las tres direcciones del espacio), tres de rotación según tres ejes espaciales —de los que sólo dos son efectivos debido que el que pasa por el eje principal de la molécula tiene una contribución despreciable (el momento de inercia se anula)— y un modo de vibración que contribuye con dos grados de libertad debido a la parte cinética y la parte potencial de la energía asociada. En total 7 grados de libertad posibles, aunque los vibracionales son despreciables a las temperaturas y presiones habituales en las atmósfera terrestre (no así en la de Venus por ejemplo), con lo que

CV =5R/2 y CP = CV + R = 7 R/2

cP = CP / μ = 7 R/2μ = 7 · 8,31 J/(mol·K) / (2 · 28,97 g/mol) = 1003 J/(kg K)

Un precioso ejemplo de cómo la mecánica cuántica controla en última instancia un fenómeno planetario a gran escala.

Tenemos por tanto que el gradiente térmico adiabático es

dT/dz = -9,81 m/s² / 1003 J/(kg K) = -0,00978 K/m


La pendiente del gradiente térmico adiabático será de esta forma -9,78 ºC/km, bastante mayor en valor absoluto que el gradiente ambiental medio de unos 6,5 ºC/km. La razón de esta diferencia es el calor latente de condensación y los movimientos verticales a gran escala en la atmósfera.

Un razonamiento sencillo nos muestra que el gradiente de temperatura debería estar muy cerca del gradiente adiabático si pretendemos modelar una atmósfera no muy lejos de la estabilidad. Si una celda de aire que intenta ascender se encontrase siempre un entorno más frío que el suyo propio continuaría ascendiendo indefinidamente, por lo que la temperatura del entorno debe estar muy cerca del establecido por un gradiente puramente adiabático.

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Fuente de la imagen

¿Por qué no obtenemos la respuesta correcta entonces?

La clave está en que olvidamos que el vapor de agua forma parte del aire. Y el vapor de agua alcanza el punto de condensación cuando la celda asciende y se enfría lo suficiente, liberando calor latente. Por tanto, una celda de aire ascendente saturada de vapor de agua no se enfriará tan rápido como en el modelo de gradiente adiabático seco.

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Fuente de la imagen

Veamos cómo calcular el gradiente térmico adiabático de saturación. El gradiente térmico ambiental medido debería estar en algún punto intermedio puesto que las celdas de aire no están habitualmente saturadas.

El lector menos interesado puede de nuevo saltarse los cálculos y quedarse con el resultado final.


Para calcular el gradiente térmico saturado introducimos en la primera ley de la termodinámica (ec. [1]) el calor latente molar de condensación del agua. Por la condición de proceso adiabático, el intercambio de calor debe ser nulo

dQ = n CV dT + P · dV + L dn = 0

donde L es el calor latente y dn la variación de masa en unidades molares.

Si de nuevo sustituimos a partir de la ecuación de estado de los gases ideales y diferenciamos respecto a la altitud z, tenemos

n CP dT/dz +V dP/dz  + L dn/dz = 0

y de nuevo utilizando equilibrio hidrostático (ec. [3])

n CP dT/dz + L dn/dz – μ n g = 0 [4]

Podemos a continuación poner el número de moles de vapor en función de su presión parcial pH2O

n = pH2O V/RT = pH2O / p

y diferenciar como

dn/dz = 1/p dpH2O/dT dT/dz – pH2O/p² dp/dz

Podemos simplificar la última expresión utilizando la ecuación de Clausius-Clapeyron que nos proporciona la variación de la presión de vapor de saturación con la temperatura

dpH2O/dT = L pH2O/R T²

y utilizando de nuevo la relación de equilibrio hidrostático

dn/dz = L n/ R T² dT/dz – μ n g pH2O/V p²

que sustituído en ec.[4]

(CP + L² pH2O/pRT²) dT/dz = μ  g (1 + L pH2O/pRT)

y despejando

dT/dz = μ  g/CP (1 + L pH2O/pRT)/(1+ L² pH2O/pCPRT²)

que podemos poner como una corrección del gradiente adiabático

(dT/dz)Saturado = (dT/dz)Adiabático (1 + L pH2O/pRT)/(1+ L² pH2O/pCPRT²)

A temperaturas típicas del aire de la baja troposfera, tendremos una presión de saturación de vapor de agua típica de ~1/1000 de la presión atmosférica. Si utilizamos los valores estándar para las demás cantidades:

L = 2,5 10⁶ J/kg, R = 287 J/K, T ~ 273 K, Cp = 1003 J/Kg K


obtenemos un gradiente térmico de saturación típico del orden de la mitad del gradiente adiabático, unos -5 ºC/km en números redondos.

Observaciones de perfiles adiabáticos

Si nos vamos a un clima tropical húmedo, encontramos cómo efectivamente el perfil térmico tiende a seguir el gradiente de saturación. Para verlo podemos utilizar un diagrama skew-T de las mediciones en una estación tropical como la del aeropuerto de Curazao

78988 TNCC Hato Airport Curacao Sounding(1)

Vemos cómo los perfiles de temperatura y punto de rocío se aproximan uno a otro precisamente porque el gradiente térmico tiende a seguir el perfil de saturación hasta prácticamente la tropopausa a unos 200 mb.

Podemos  también comprobar también que en un clima muy seco como el del Sahara el perfil de temperaturas cercano al suelo (donde la mezcla vertical de aire es importante) debería seguir con bastante aproximación el gradiente adiabático seco.

60630 In Salah Sounding

Perfil de temperaturas en otros planetas

El descenso de la temperatura con la altitud en la troposfera es una característica general de las atmósferas planetarias[3].

AllPlanetsT
Fuente de la imagen

Atmósferas sin apenas vapor de agua (u otros gases condensables) como las atmósferas de Venus y Marte podrían ser buenas candidatas a comprobar la utilizad del gradiente adiabático seco, calculado a continuación para los tres planetas

Gas M

kg/ mol

cp

J kg-1 K-1

g

m s-2

-dT/dz

K / km

Venus CO2 44 x 0.001 1134 (730 K) 8.87 7,8
Earth O2 , N2 29 x 0.001 1003 (300 K) 9.81 9.8
Mars CO2 44 x 0.001   850 (230 K) 3.71 4.4

Observamos cómo los perfiles difieren considerablemente.

EVMgreenhouse
Fuente de la imagen

Marte y Venus tienen atmósferas compuestas básicamente de CO2 (>95%). Venus tiene una troposfera enorme, de unos 50 km de altitud, según las mediciones de la sonda rusa Venera y la estadounidense Pioneer Venus. Por debajo de los 23 km aproximadamente, el perfil de temperaturas en un gradiente adiabático de unos 8 K/km en buena concordancia con lo esperado para los cálculos refinados para un gas real triatómico de unos 8,08 K/km. El perfil es con buena aproximación adiabático en toda la troposfera con algunas desviaciones subadiabáticas debidas a la presencia de nubes que dificultan el enfriamiento de la parte alta.

venusatmosphere
Fuente de la imagen

Si nos fijamos en la posición de las famosas nubes sulfúricas de Venus, la presión y temperaturas a unos 50 km son similares a las que encontramos en la Tierra. Eso ha llevado a algunos autores a especular sobre su propiedad para la colonización humana.

Veamos cómo podemos hacer una estimación básica del tamaño de la troposfera a partir del gradiente térmico adiabático calculado anteriormente.

La temperatura de equilibrio de Venus a la distancia a la que se encuentra según su albedo,  puede calcularse a partir de la de la Tierra recordando que el flujo solar medio recibido en la superficie a 1 u.a. para un planeta de albedo a

S1ua = 1/4 × 1361 (1-a) = 340 (1-a) W/m²

Como Venus se encuentra a 0,72 u.a y tiene un albedo de 0,65

SVenus = 340 W/m² × (1-0,65) × (0,72)⁻² = 230 W/m²

T_{e}=\sqrt[4]{\frac{230}{5,67\times 10^{-8}}}=252 K

Con ese dato podemos relacionar la temperatura de la superficie y la escala de la troposphera ze (en realidad la altura efectiva de emisión)

TS – 252 K = 8 K/km × ze

Para una temperatura superficial de 740 K medida in situ por las sondas Venera, tenemos una escala de la troposfera de unos 60 km.

La razón de una troposfera tan elevada en Venus es por supuesto la enorme opacidad al infrarrojo al CO2 que calienta una densa atmósfera provocando movimientos convectivos hasta gran altitud que tienden rápidamente a la estabilidad adiabática. Recordemos que la opacidad de atmósfera de la Tierra es del orden de la unidad, mientras que la de Venus sería

( τs+1) = (740K/252 K)⁴ ~ 74

La atmósfera de Marte es muy diferente a la de Venus. De una densidad bajísima alcanzando sólo unos 6 mb de presión en su superficie. Sin embargo, el levantamiento de polvo de silicatos provocado por el viento marciano provoca un calentamiento extra de la troposfera que la convierte en subadiabática y por tanto con gran estabilidad. Sin embargo, las variaciones de temperatura a lo largo del día marciano (max 238K, mín 190 K medidos por Viking por ejemplo) provocan una convección a mediodía que puede llegar a unos 30 km de altitud hasta la desaparición de la troposfera al final de la noche donde el enfriamiento radiativo provoca una inversión del gradiente térmico.

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Fuente de la imagen: Petrosyan, A., et al. (2011), The Martian atmospheric boundary layer, Rev. Geophys., 49, RG3005, doi:10.1029/2010RG000351.

En la figura podemos ver  la inversión térmica durante la noche marciana (azul) y cómo en las horas de mediodía (rojo) se establece una fuerte convección hasta cerca de los 10 km de altitud donde se crea un régimen adiabático seco bien ajustado por la expectación teórica de 4,4 K/km (línea discontinua).

También en Júpiter podemos encontrar un ejemplo observacional de gradiente térmico adiabático seco de 1,8 K/km medido por Galileo para presiones de 1 a 22 bar, el límite de presión de los datos obtenidos por la sonda. La temperatura a 1 bar es de 165 K

jupiterlapserate
Fuente de la imagen

1,8 K/km es exactamente el gradiante adiabático esperable para gas hidrógeno (cp = 14320 J/kgK) y una aceleración de la gravedad g = 26 m/s², lo que indica la escasa presencia de agua en esa zona de la atmósfera.

Conclusión

Esta entrada nos puede servir para entender cómo una propiedad aparentemente tan sencilla como el gradiente térmico de una atmósfera planetaria es en última instancia resultado de la interacción entre la gravedad del planeta y la composición química de su atmósfera, tanto por sus propiedades radiativas como en ultimo término  por sus propiedades cuánticas.


Referencias

Atmospheric Lapse Rate. Citizendium

Eugene F. Milone,William J.F. Wilson. Solar System Astrophysics: Planetary Atmospheres and the Outer Solar System. Springer 2014.

James R. Holton, Judith A. Curry. Encyclopedia of Atmospheric Sciences

Lapse Rate. Wikipedia.

Mikhail I͡Akovlevich Marov,David Harry. The Planet Venus. Yale 1998.

Petrosyan, A., et al. (2011), The Martian atmospheric boundary layer, Rev. Geophys., 49, RG3005, doi:10.1029/2010RG000351

Temperature Profile in the Atmosphere – The Lapse Rate. Science of Doom.

Zasova, L.V., Moroz, V.I., Linkin, V.M. et al. Structure of the Venusian Atmosphere from Surface up to 100 km, Cosmic Res (2006) 44: 364. doi:10.1134/S0010952506040095.


[1] La colisión de moléculas de N2 puede producir absorción/emisión en el infrarrojo por lo que ni siquiera nuestro planeta imaginario estaría totalmente libre de efecto invernadero. Regresar al texto

[2]En una atmósfera de nitrógeno puro sin gei, el calentamiento solar de la superficie puede producir inestabilidad en el aire cercano por conducción, lo que hace que el equilibrio termodinámico isotermo se vea roto en favor de la estabilidad convectiva dada por la condición adiabática. Este punto ha sido objeto de un largo e interesante debate histórico sobre la condición de equilibrio de una atmósfera ideal entre los “defensores” de una atmósfera isoterma y los “defensores” de la condición adiabática. La primera es fruto de la condición de máxima entropía en una atmósfera que no intercambia energía, pero lo cierto es que cualquier atmósfera planetaria, por muy idealizada que uno la represente, intercambia energía con la estrella del sistema planetario y es básicamente imposible que no actúen procesos disipativos que tienden a mover energía en dicha atmósfera. El asunto no está del todo cerrado. Una discusión tremendamente interesante de los aspectos históricos y técnicos de este debate puede encontrarse en

Y una propuesta reciente, en base a resultados numéricos en:

Regresar al texto

[3] T. D. Robinson & D. C. Catling publicaron recientemente una nota breve en Nature con una posible explicación a la regularidad de la presión característica de la tropopausas de planetas con atmósferas densas de unos 100 mb.
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