Atmósferas de planetas imaginarios

Llevo meses pensando en el problema del perfil de temperaturas de una atmósfera de nitrógeno puro en un planeta, por todo lo demás, análogo al nuestro. Y es un problema muchísimo más sutil e interesante de lo que pensé en un principio. De hecho, a día de hoy podemos decir que no es un problema general completamente resuelto o, al menos, en cuya solución no hay un acuerdo unánime. Pero, como veremos, tampoco es un problema esencialmente relevante para los modelos de una atmósfera con GEI, donde el papel de estos en la estructura de la atmósfera está bastante claro. Por supuesto, esto último tampoco ha servido de freno para que muchas fuentes (sobre todo cercanas al negacionismo) hayan intentando utilizar este mismo experimento mental para “demostrar” que el calentamiento de la superficie es consecuencia de la termodinámica de un gas ideal bajo la acción de la gravedad y no de los gases de efecto invernadero. Y como siempre, se trata en el mejor de los casos de poca comprensión de la física básica de la atmósfera y en el peor de una simple paparrucha.

Historia de un debate: ¿Atmósfera isotérmica o gradiente adiabático?

En 1876, Josiah Willard Gibbs publicaba una demostración donde maximizaba la entropía de un gas ideal ideal en un campo gravitatorio con conservación de la masa, volumen y energía interna más potencial,  llevando a una condición de equilibrio isoterma, es decir, un perfil de temperatura constante con la altitud.

En el contexto de la teoría cinética de los gases, Ludwig Eduard Boltzmann llegó a la misma conclusión en 1896 utilizando su teorema H.  Se puede demostrar de esa manera que la distribución de velocidades en un gas bajo la fuerza de la gravedad se corresponde con una distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann a la misma temperatura. Intuitivamente no es trivial, puesto que uno podría pensar que las moléculas pierden energía al ascender y eso se correspondería con una menor temperatura con la altitud (como además confirma la observación del gradiente térmico atmosférico). Pero hay que considerar que el efecto de la mayor probabilidad de ascenso de las moléculas más energéticas se compensa con la mayor probabilidad de descenso de las menos energéticas.

En su “Teoría del calor” de 1907, James Clarke Maxwell llega a la misma conclusión de una atmósfera isoterma como condición de equilibrio termodinámico, pero matiza que en la atmósfera real, aparte del desequilibrio introducido por la radiación solar, existen movimientos convectivos que establecen otro tipo de equilibrio que Lord Kelvin denominó, lógicamente, equilibrio convectivo en un artículo de 1863 “On the convective equilibrium of the temperature in the atmosphere” y que establece un gradiente adiabático de temperaturas como condición de equilibrio.

Ese mismo año, Lord Kelvin explicaba el establecimiento del equilibrio convectivo de la siguiente manera: la emisión de radiación térmica de las capas altas de la atmósfera enfrían el aire que se vuelve más denso y desciende compensando el ascenso de aire caliente más cercano a la superficie. El proceso se produce tan rápido que no hay intercambios de calor por conducción o radiación (condición adiabática).

Curiosamente, tan pronto como en 1924 Pierre Simon de Laplace —citado por Nicolas Léonard Sadi Carnot en su clásico Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego y sobre las máquinas adecuadas para desarrollar esta potencia— ya era escéptico de esta explicación, muy anterior a la del propio Lord Kelvin, aunque por las razones equivocadas. Laplace argumentaba:

¿No es el enfriamiento del aire por dilatación al que debe atribuirse el frío de las regiones superiores de la atmósfera? Las razones dadas hasta la fecha para explicar este frío son bastante inadecuadas; se dice que el aire de las regiones elevadas, recibiendo poco calor reflejado por la tierra y radiando él mismo a los espacios celestiales, pierde calor y esa es las causa de su enfriamiento. Pero esta explicación es destruida si notamos que a diferentes altitudes el frío reina también e incluso con más intensidad en las llanuras elevadas que en las cimas de las montañas o en las partes de la atmósfera lejos de la tierra.

La explicación de Lord Kelvin apunta a la relevancia del enfriamiento radiativo y por tanto a lo crucial de la existencia de gei activos en el infrarrojo para provocar el gradiente observado.

Por supuesto, todo el mundo termina aceptando la existencia de un equilibrio convectivo en la atmósfera; ¡Nadie puede desentenderse de la la realidad! Pero este tipo de equilibrio seguía huérfano de una explicación desde primeros principios y simplemente se introducía como un hecho observacional.

Un planeta imaginario

Comencemos imaginando un planeta idéntico a la Tierra pero con una atmósfera que sólo contuviese nitrógeno.

darksideimage_unann

Por supuesto, tal planeta no podría ser tan parecido a la Tierra actual. Si contuviese océanos, por ejemplo, el agua se evaporaría y la atmósfera ya no sería de nitrógeno puro. Al no existir efecto invernadero, la temperatura sería los suficientemente baja para helar la superficie oceánica. Ambas posibilidades cambiarían el albedo, es decir, la cantidad de luz solar reflejada al espacio. Así que estamos definiendo nuestro planeta imaginario como uno con el mismo albedo que la Tierra pero con una atmósfera pura de nitrógeno. Admitamos vaca esférica, sin embargo, en beneficio de la argumentación.

Una atmósfera de nitrógeno es casi perfectamente transparente a la luz solar y a la radiación térmica infrarroja. La superficie de nuestro planeta se calentaría por la luz solar emitiendo radiación infrarroja que ascendería libremente por la atmósfera hasta escapar directamente al espacio.  En el momento que se igualaran los flujos de energía, la temperatura de la superficie se mantendría constante a -18ºC, como ya habíamos calculado en el modelo básico de equilibrio utilizando el albedo actual de la Tierra.

El hecho de una temperatura media tan baja mantendría la superficie del océano helada y aumentaría el albedo, lo que disminuiría más aún la temperatura en un ejemplo de lo que se denomina un ciclo de retroalimentación positiva (el conocido como feedback hielo-albedo). Esa temperatura, además, implica que es imposible que se produzca la condensación del nitrógeno a -196ºC, por lo que no existirían nubes, lo que variaría de nuevo el albedo del planeta.

Para quien esté pensando que estas cosas no son aplicables al mundo real, tenemos por ejemplo los recientes datos de New Horizons de la atmósfera de Plutón, que indican una composición de nitrógeno con pequeñas trazas (menos del 1%) de otros gases como el metano y el monóxido de carbono. La temperatura es tan baja que el metano y el nitrógeno se condensan probablemente en torno a partículas de polvo que entran en la atmósfera procedentes del espacio, formando niebla que termina como nevada de metano y nitrógeno sobre la superficie.

Pero continuemos con nuestro planeta imaginario. La superficie calentada por el sol calienta a su vez el nitrógeno adyacente por conducción y empieza a actuar la convección. En ese momento, bolsas de nitrógeno más calientes que su entorno empiezan a elevarse y lo hacen más rápidamente de lo que puede ascender el calor por conducción. El nitrógeno ascendente se expande y enfría debido a la disminución de la presión con la altitud, por un simple principio de equilibrio hidrostático añadida la condición adiabática, es decir, que el ascenso es suficientemente rápido para que no exista la posibilidad de intercambio de calor con el medio. Dichos movimientos convectivos terminan por establecer una condición de equilibrio consistente en una disminución constante de la temperatura de unos 10ºC por cada kilómetro de ascenso, lo que se conoce como gradiente térmico adiabático seco (ver El origen del gradiente térmico de la troposfera)

dryadiabaticlapserate

La atmósfera de nuestro planeta imaginario sería básicamente una troposfera con una temperatura de -18ºC en superficie y un gradiente de -10ºC/km.

Añadamos gases de efecto invernadero

Nuestro planeta imaginario sufre de repente un periodo de erupciones volcánicas imaginarias que añaden un poco de CO2 a la atmósfera, digamos hasta aumentar la concentración a 3 ppmv. Eso significa, en números redondos, la emisión de unas 23 GtCO2, una cantidad del mismo orden que las emisiones industriales de 7 meses o aproximadamente las emisiones de un supervolcán tipo Toba.

Ahora la atmósfera absorbe y emite radiación infrarroja. El grueso de esta radiación ya no escapa al espacio desde la superficie, sino desde más arriba en la atmósfera que estará más fría. Menos energía abandona la atmósfera y se tiene por tanto que producir un calentamiento hasta que la temperatura característica de emisión vuelva a ser la de equilibrio (-18ºC). Veamos cómo funciona.

En primer lugar tendríamos que calcular cuánta energía abandona ahora la atmósfera. La manera correcta de hacerlo sería calcular la profundidad óptica de la nueva atmósfera. La profundidad óptica no es más que una medida de la transparencia de la atmósfera al paso de la radiación infrarroja. Si es cero (no hay gases de efecto invernadero), la atmósfera es completamente transparente. Si es muy grande, la radiación apenas viaja en la atmósfera antes de ser absorbida.

Sin embargo, ese cálculo es complicado. Requiere utilizar el espectro del CO2 y calcular la absorción que produce cada longitud de onda. Uno de mis objetivos en este blog es entender cómo hacer exactamente ese tipo de cálculos, pero de momento nos conformaremos con el script de MODTRAN, una implementación del cálculo simplificando el espectro  muestreándolo en bandas de 1 cm⁻¹ para no tener que utilizar cada línea de absorción/emisión en cada frecuencia. Para que nos hagamos una idea, en la imagen podemos ver casi 100 mil líneas del espectro del CO2 alrededor de la línea principal centrada en 667.6 cm⁻¹ (14.98 μm)

co2spectra

El script de MODTRAN está implementado para la atmósfera terrestre, por lo que el resultado debe tomarse sólo como representativo.

Coloquemos ahora un satélite en una órbita a 700 km de altitud para medir el espectro de nuestro planeta imaginario sin gases de efecto invernadero. Veríamos, idealmente, algo así:

MODTRAN Infrared Light in the Atmosphere

Vemos en azul el modelo de un espectro térmico continuo de emisión característico de un cuerpo en equilibrio térmico a 255 K (-18ºC), es decir, estamos viendo la emisión de la superficie del planeta que atraviesa inalterado una atmósfera transparente al infrarrojo. El resto de espectros térmicos están ahí sólo como referencias de temperaturas de emisión. La potencia total emitida es de unos 235 W/m².

Añadamos ahora 3 ppm de CO2 y veamos qué cambios se producen

MODTRAN Infrared Light in the Atmosphere(1)

Observamos ahora claramente la línea de absorción principal del CO2 en 667.6 cm⁻¹ y cómo la emisión central de esa línea se está produciendo desde muy arriba en la atmósfera a una temperatura por debajo de 220K. Veremos más abajo qué significa exactamente ese valor.

Vemos además que la potencia total emitida ha disminuido de 235 W/m² a 227 W/m². Al emitirse al espacio menos energía, no queda otro remedio que  se produzca calentamiento hasta restablecer el equilibrio anterior. Podemos estimar dicho cambio de temperatura jugando con el Offset para recuperar la potencia superficial emitida.

MODTRAN Infrared Light in the Atmosphere(2)

Teníamos un Offset de -33ºC para llevar la temperatura superficial de MODTRAN para la superficie terrestre de 15ºC a -18ºC, es decir, para neutralizar el efecto invernadero presente en nuestra atmósfera. Vemos que un efecto invernadero de +2ºC restablece la emisión inicial (recuerde el lector que el cálculo es sólo estimativo).

Como el gradiente térmico se mantiene en -10ºC/km, eso significa que la altitud efectiva de emisión está ahora a unos 200 m sobre la superficie. Como comparación, en la atmósfera real, con un gradiente térmico de -6,5 ºC/km, la altitud efectiva de emisión es de unos 5 km. Aunque en la atmósfera real es importante el papel del vapor de agua, esa comparación nos da una buena idea de la diferencia de opacidad al infrarrojo de ambas atmósferas.

Hemos visto anteriormente que el transporte radiativo en la atmósfera tiende a dominar las capas altas estableciendo una temperatura de 214 K como límite al que tiende una atmósfera superior isoterma. Para entender de manera sencilla ese valor, sólo tenemos que asumir que las capas altas están en equilibrio térmico con la emisión que viene desde abajo. El equilibrio significa que la absorción de la emisión que viene desde abajo (emisión efectiva) se reemite en todas direcciones, resultando la mitad hacia arriba y la mitad hacia abajo.

im09_equilibrioradiativo

La profundidad óptica  τ0 a través de toda la atmósfera podemos estimarla entonces como (ver modelos de equilibrio radiativo)

τ0+1 = (257K/214 K)⁴ = 2,08 ⇒ τ0 ~ 1,08

La profundidad óptica decrece con la altitud  debido a la disminución de la densidad atmosférica como

τ (z) = τ0 exp(-z/H)

H es lo que denominamos la escala de la troposfera y podemos calcularla a partir la altitud desde la que se produce la emisión efectiva  a z = 200 m como

τeff = (255K/214 K)⁴ – 1 = 1

1 = 1,08 exp(-200m/H) ⇒ H ~ 2600 m

La temperatura de equilibrio radiativo a cualquier altitud, puede escribirse entonces como

T⁴(z) = 214⁴ (1+τ0 exp(-z/H))

Comparemos el gradiente de temperaturas que produce el equilibro radiativo puro con el provocado por la convección.

radiativo-convectivo

Vemos cómo a partir de lo que hemos denominado la escala característica de la troposfera (H), empieza a dominar el transporte radiativo sobre el convectivo y la atmósfera tiende rápidamente a ser isoterma. ¡Hemos creado una estratosfera!

Por supuesto, la estratosfera de la Tierra está calentada por el ozono, produciéndose una inversión térmica en torno a los 20 km de altitud (ver El clima de la estratosfera) Pero Marte y Venus carecen de ese calentamiento. Veamos cómo se comporta una aplicación sencilla de nuestro modelo a Venus

La temperatura de equilibrio de Venus puede calcularse a partir de la de la Tierra recordando que el flujo solar medio recibido en la superficie a 1 u.a. para un planeta de albedo a

S1ua = 1/4 × 1361 (1-a) = 340 (1-a) W/m²

Como Venus se encuentra a 0,72 u.a y tiene un albedo de 0,65

SVenus = 340 W/m² × (1-0,65) × (0,72)⁻² = 230 W/m²

Y una temperatura de equilibrio

T_{e}=\sqrt[4]{\frac{230}{5,67\times 10^{-8}}}=252 K

Con ese dato podemos relacionar la temperatura de la superficie y la la altura efectiva de emisión ze

TS – 252 K = 8 K/km × ze

Para una temperatura superficial de 740 K medida in situ por las sondas Venera, tenemos una altitud efectiva de emisión de unos 60 km.

La razón de un valor tan elevado  de la altitud de emisión en Venus es, por supuesto, la enorme opacidad al infrarrojo al CO2 que calienta una densa atmósfera provocando movimientos convectivos hasta gran altitud que tienden rápidamente a la estabilidad adiabática.

La temperatura de la estratosfera, en equilibrio radiativo con la emisión de la troposfera, sería

T_{s}=  2^{-1/4} T_{e} =212 K

Y así tenemos una opacidad de

( τs+1) = (740K/212 K)⁴ ~ 150

Como hicimos con nuestro modelo, podemos calcular la escala de la troposfera utilizando el hecho de que τeff = (252K/212 K)⁴ – 1 = 1

1 = 150 exp(-60 km/H) ⇒ H ~ 13 km

Y construir nuestro modelo radiativo-convenctivo simple para Venus como

Gradiente adiabático T(z) = 740 – 8  z

Gradiente de equilibro radiativo T⁴(z) = 212⁴ (1 + 150  exp(-z/13))

sagevenus

Que reproduce la estructura básica del perfil de temperaturas, aunque la atmósfera de Venus añade la complejidad de la existencia de una capa importante de nubes a unos 50 km, donde comienza a dominar el equilibrio radiativo.

venusatmosphere

No está nada mal conseguir modelar la estructura básica de una atmósfera planetaria con un modelo tan sencillo. De hecho, modelos radiativo-convectivos ligeramente más elaborados pueden hacer un trabajo excelente en comprender la base de la estructura de una atmósfera planetaria. Ese fue precisamente el objeto del trabajo pionero de Carl Sagan junto a James Pollack con la atmósfera de Venus en los sesenta del siglo pasado. Pero esa es otra historia.

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