Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452b

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Una buena amiga —y excelente escritora de ciencia ficción— me preguntaba por el clima de un planeta con mayor gravedad que la Tierra. Y resulta ser una pregunta preciosa para aplicar los conceptos básicos de atmósferas planetarias que ya hemos utilizado en este blog.

Kepler 452b es el único candidato —no confirmado— de super-Tierra que orbita una estrella de tipo solar situada en la constelación del Cisne, a unos 1400 años-luz de distancia. Su descubrimiento fue anunciado en 2015 por el equipo del Kepler Space Telescope.

Sus características orbitales son muy similares a la Tierra, aunque apenas parece tener inclinación del eje de rotación. Su radio es 1,5 veces el de nuestro planeta y su masa no ha sido estimada con suficiente precisión, aunque parece ser algunas veces (3-7) mayor que la de la Tierra, lo que implicaría una aceleración de la gravedad mayor.

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Imagen artística que compara la Tierra con Kepler 452b

La estrella Kepler 452 es 1500 millones de años más antigua que nuestro Sol, por lo que su brillo es un 10% mayor. La “constante solar” medida en Kepler 452b estará en  torno a una 10% mayor que la terrestre, o unos 1500 W/m².

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Evolución de la luminosidad de una estrella tipo solar. Fuente

¿Qué podemos decir sobre el clima de Kepler 452b? Lo cierto es que nada, sin hacer supuestos que no tenemos sobre características atmosféricas. Pero imaginemos que fuesen similares a los de la Tierra. ¿Sería su temperatura superficial mayor o menor que la de nuestro planeta? O preguntado de otra manera, ¿tendría mayor o menor efecto invernadero?

Recordemos en primer lugar que podemos aproximar el gradiente térmico  de una atmósfera planetaria como el adiabático (con la corrección de condensación si quisiésemos hilar más fino)

dT/dz = – g/cp

Donde g es la aceleración de la gravedad y cp el calor específico a presión constante.

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Gradiente adiabático para una atmósfera terrestre muy seca.

Para una mayor aceleración de la gravedad, vemos que la temperatura disminuye más rápidamente con la altitud y, por tanto, el nivel efectivo de emisión de radiación infrarroja al espacio estará a menor temperatura. Este comportamiento provocaría la necesidad de un aumento de temperatura que incremente a su vez la emisión infrarroja hasta equilibrar la potencia solar visible que llega a la superficie. Es decir, tendríamos un mayor efecto invernadero.

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Efecto del cambio del gradiente térmico debido a la gravedad a una recta con menor pendiente (amarillo). Como al altitud de emisión se mantiene fija, resulta necesario trasladar la recta hasta que la emisión vuelva a coincidir a -18ºC, produciéndose un aumento de la temperatura superficial.

Sin embargo, una mayor gravedad implica que una atmósfera de 1 bar estará más comprimida hacia la superficie. Por tanto, la escala característica de la troposfera disminuye, aumentando la temperatura promedio de emisión y provocando un efecto contrario al anterior: un menor efecto invernadero.

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La disminución de la escala característica de la troposfera (representada por la flecha naranja) contrarrestando el efecto anterior.

¿Qué efecto predomina? ¡Ambos se cancelan mutuamente! Y eso es un principio básico importante que podemos deducir con facilidad, recordando la relación de equilibrio hidrostático e insertando la ecuación de estado de los gases ideales de la siguiente manera

dP/dz = -g ρ  = – g P/RT

donde introducimos el gradiente térmico

dP/dz = dT/dz dP/dT   = – g/cp  dP/dT = – g P/RT

y reordenando términos

dT/T = R/cp dP/P

o escrito de otra forma más conveniente

d (ln T)/d(ln P) = R/cp

nos muestra que la temperatura no depende de la aceleración de la gravedad para los diferentes niveles de presión. Esta última relación nos introduce, además, en la costumbre en atmósferas planetarias de utilizar la presión —en lugar de la altitud— como escala vertical de la atmósfera. En la imagen vemos que al representar de esta manera las atmósferas planetarias observamos un patrón alrededor de 100 mb que dos grandes de la disciplina como T. D. Robinson y D. C. Catling  intentaron explicar recientemente.

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Veamos ahora cómo cambiaría el grosor óptico (si es que lo hace) con la disminución de la escala característica de la atmósfera. Como el peso de la atmósfera debe ser el mismo para mantener 1 bar de presión en superficie (recordemos que es una condición impuesta), la masa de la atmósfera debe ser menor en proporción a la relación entre las aceleraciones de la gravedad en ambos mundos.

Eso significa que, para la misma proporción de gases de efecto invernadero, la cantidad de estos será menor y la radiación infrarroja escapa más fácilmente al espacio. El grosor óptico será menor y, por tanto, ¡habrá menos efecto invernadero!

Veamos en qué condiciones podría compensar la mayor irradiación solar de la superficie de Kepler 452b. Esta parte es algo más técnica y el lector necesita entender las relaciones que se han utilizado en entradas anteriores.

El grosor óptico total para nuestra atmósfera, en la aproximación gris (recuerden, cuando utilizamos el mismo valor promedio para todas las longitudes de onda de la radiación) es

τ0+1 = (288K/214 K)⁴ = 3,28 ⇒ τ0 ~ 2,30

con 288 K la temperatura de superficie y 214 K el límite isotermo de la tropopausa, ésta último calculada a partir del equilibrio radiativo por encima de la troposfera, tal y como se ve en la imagen.

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El grosor óptico τ (z) decrece con la altitud z debido a la disminución de la densidad atmosférica como

τ (z) = τ0 exp(-z/H)

Donde  τ0  es el grosor óptico total de la atmósfera medido desde la superficie. H es lo que denominamos la escala de la troposfera y podemos calcularla a partir de la altitud desde la que se produce la emisión efectiva a -18ºC (255 K), que, siguiendo el gradiente térmico de -6,5ºC/km, sería

zeff = (288-255)/6,5 ~ 5 km

correspondiente a una profundidad óptica

τeff = (255K/214 K)⁴ – 1 = 1

Recuerde el lector que ésta es una regla general: El grosor óptico a la altitud (presión) de la emisión efectiva (donde la temperatura es la de equilibrio radiativo) es siempre τeff = 1

Tenemos así que la escala de la troposfera viene de sustituir estas cantidades en la expresión para la variación del grosor óptico con la altitud.

1 = 2,30 exp(-5km/H) ⇒ H ~ 6 km

Para determinar la temperatura superficial de Kepler 452b asumiendo una atmósfera similar a la de la Tierra, podemos proceder de la siguiente manera.

Calculemos la potencia media que llega a la superfice del planeta para un albedo de 0,3 como el de la Tierra

S1ua = 1/4 × (1 – 0.3) × 1500 W/m² ∼ 260 W/m²

Lo que implica una temperatura efectiva de equilibrio de

T_{eff}=\sqrt[4]{\frac{260}{5,67\times 10^{-8}}}=260 K

El límite isotermo de la tropopausa será

T_{skin}=\sqrt[4]{\frac{260/2}{5,67\times 10^{-8}}}=219 K

El grosor óptico total de la atmósfera de Kepler 452b será menor en proporción a la menor masa de la atmósfera. Asumiendo densidad constante, la aceleración de la gravedad sería 1,5 veces la terrestre y la masa de la atmósfera 2/3 de la terrestre, por lo que podemos aproximar el grosor óptico de la atmósfera en Kepler 452b calculando su variación a la altitud de emisión efectiva

Δτ ~ (2/3 – 1) × τeff = -1/3

τ0 = 2.3 – 1/3 = 1,97

Lo que nos lleva a una temperatura superficial

T_{S}=\sqrt[4]{1,97+1}\times  219 K=287,4 K

o algo más de medio grado por debajo de la temperatura superficial de nuestro planeta. Eso significa que la tendencia a ser un planeta más cálido —debido a la mayor luminosidad que recibe de la estrella— quedaría prácticamente compensado por la disminución de la cantidad de atmósfera para mantener la condición impuesta de 1 bar de presión superficial.

Como comparación con nuestro planeta, la altitud efectiva de emisión estaría a

zeff = (287-260)/(6,5×1,5) ~ 2,8 km

Y la escala característica de la troposfera sería

1 = 1,97 exp(-2,8km/H) ⇒ H ~ 4 km

una cantidad que podíamos haber estimado simplemente como 2/3 de la escala de la troposfera en la Tierra.

Quizás sería más razonable pensar que un planeta con mayor gravedad tienda a retener más gases y acumular una mayor presión de superficie, aunque no es una regla general ni mucho menos (pensemos en las densas atmósferas de Venus o Titán por ejemplo). Nuestras condiciones para Kepler 452b, por supuesto, sólo tenían como pretensión entender la aplicación de los principios físicos básicos y no modelar la temperatura superficial del exoplaneta. ¿No me digan que la física de las atmósferas planetarias no es bonita?

Referencias

Hu Y., Wang Y., Liu Y., Yang J., 2017, Climate and Habitability of Kepler 452b Simulated with a Fully Coupled Atmosphere–Ocean General Circulation Model ApJ, 835, 6

 

Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452b

2 comentarios en “Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452b

  1. Luis Delgado dijo:

    Una pregunta de aficionado. Parece que no has tenido en cuenta el espesor (real) de la atmosfera para la radiación entrante. Puesto que en el planeta es bastante menor que el terrestre, y como la absorcion de la radiación disminuye exponencialmente con la longitud recorrida, llegara a la superficie del planeta mucha mas energia que en La Tierra, aunque tuvieran la misma constante solar. ¿esta eso ya reflejado en las formulas? Es que parece que el unico aumento de energia en el planeta se debe a que tiene mayor constante solar.

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  2. Buena observación Luis. La cantidad de luz solar que llega a la superfice se estima como siempre 1/4 (1-a) * S0 donde a es el albedo, S0 la constante solar y 1/4 promedia la potencia sobre toda la superficie considerando que se recibe sólo en la proyección circular del planeta en la dirección del Sol (pi R²/4 pi R²) El cálculo que hago asume justo el mismo albedo que en la Tierra (0.3) Por supuesto, eso es un brindis al sol, porque no tenemos ese dato. Y efectivamente, si asumes que la atmósfera es 2/3 de la terrestre, sería una consecuencia que hay menos reflexión-dispersión de la luz solar al atravesar la atmósfera y menos albedo. Pero luego estaría la cubierta de nubes, por ejemplo. Son datos que no tienes, por lo tanto asumimos un albedo igual al terrestre para hacer una simple comparación directa y tratar de separar lo básico de la entrada que es la influencia del cambio de gravedad en la temperatura superficial.

    No sé si eso contesta a tu pregunta.

    Me gusta

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