Formalizando un modelo radiativo de atmósfera planetaria

Hasta ahora hemos utilizado muchos conceptos de transferencia radiativa en la atmósfera de manera algo laxa con el objetivo de centrarnos en las propiedades de la atmósfera más en que en la formalización de los conceptos. Pero hay un determinado momento en que esa ausencia de formalización puede llevar a cierta confusión, como nos ha sucedido de hecho con los conceptos de opacidad y grosor óptico.

Hagamos entonces el trabajo algo más árido de las definiciones concretas.

Equilibrio hidrostático

La condición de equilibrio hidrostático relaciona, como ya sabemos, la variación de la presión con la altitud en función de la densidad ρ del gas de la atmósfera y la aceleración de la gravedad g del planeta en cuestión

dP/dz = – ρ g

Escala de la atmósfera

Si introducimos la ecuación de estado de los gases de la atmósfera con la aproximación de gas ideal,

 P  =   ρ/μ RT

donde μ es el peso molecular medio, T la temperatura y R la constante de los gases ideales, obtendremos una nueva expresión de la ecuación de equilibrio hidrostático

dP/dz = -gμ P/RT

donde podemos definir una cantidad con dimensiones de longitud

H =  RT/gμ

a la que se suele denominar escala de la atmósfera, de tal manera que podemos escribir la relación anterior en función de la escala como

dP/dz = – P/H

Puesto que la presión varía de manera exponencial, mientras que la temperatura lo hace linealmente, podemos aproximar una solución isoterma de la variación de la presión con la altitud como

P = P(z=0) exp (-z/H)

En el gráfico a continuación podemos ver la diferencia entre la variación de la presión con la altitud en la aproximación isoterma (rojo) y considerando el gradiente térmico de la troposfera (-6.5ºC/km). Se aprecia que en la troposfera se corresponde con una aproximación excelente.

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Fuente de la imagen.

Para una temperatura superficial media de unos 15ºC (288 K) y una masa media molecular de 0,78 × 28 + 0,21 × 32 + 0,01 × 40 ≈ 29 g/mol (78% N2, 21%O2 y 1% Ar)

H =8.31 J⋅mol⁻¹⋅K⁻¹ 288K/(9,81 m s⁻² 0,029 kg mol⁻¹) ∼ 8400 m = 8,4 km

una altitud típica (muy próxima a la cima del Everest) donde la mayoría del peso (1-1/e = 0,63) de la atmósfera se encuentra por debajo, asumiendo de nuevo una disminución exponencial de la presión (densidad) con la altitud.

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Fuente de la imagen

El supuesto de variación exponencial de la presión con la altitud puede no ser una buena aproximación en algunas atmósferas como la de Plutón, donde las fuertes variaciones de la temperatura con la altitud cambia a su vez la escala de la atmósfera, que puede pasar de unos 20 km en las capas bajas a unos 60 km en altitudes entre los 30 y los 100 km.

Opacidad y grosor óptico

Cuando miramos un objeto situado a una distancia d a través de la niebla , podemos definir el grosor óptico τ del medio de opacidad k, atravesado por la luz proceden del objeto, como

τ = k d

En un medio de mayor opacidad (por ejemplo cuando hay más niebla en la línea de visión), el grosor óptico será mayor en proporción a las opacidades del medio.

Captura de pantalla de 2018 09 23 18 16 33

Por supuesto, la opacidad (y por tanto el grosor óptico) dependerá de las propiedades de absorción del medio que varían con la longitud de onda λ de la radiación, por lo que sería más apropiado expresar la anterior relación como

τλ = kλ d

haciendo explícita esta dependencia. La aproximación gris consiste precisamente en obviar dicha dependencia de la longitud de onda.

Seguimos por supuesto sin definir opacidad, pero entenderemos su significado más abajo en función de la atenuación de la intensidad de la radiación al atravesar un medio material.

Camino libre medio de los fotones

Un fotón de radiación infrarroja que atraviesa la atmósfera se encontrará con un medio de moléculas absorbentes como el CO2

crosssection

Al recorre una distancia L podrá ser absorbido por cualquiera de las moléculas con las que se encuentra (en verde en la imagen). Para una densidad de partículas N por unidad de volumen, el número de colisiones puede calcularse como

N π r² L

donde σ = π r² es lo que suele denominarse sección eficaz y nos da una idea de la superficie efectiva de interacción.

La opacidad es precisamente el número de colisiones por unidad de longitud, por lo que podemos poner

kλ = N σλ

haciendo explícita de nuevo la dependencia de la longitud de onda.

Otra cantidad interesante es el camino libre medio lλ , es decir, la distancia que puede viajar el fotón en promedio antes de ser absorbido por el medio. Podemos calcularlo como la distancia recorrida dividida entre el número de colisiones producido en el recorrido, es decir,

lλ = L/(N σλ L) = 1/(N σλ) = 1/kλ

Es decir, el camino libre medio no es más que el inverso de la opacidad.

Si ahora calculamos el grosor óptico  para el recorrido libre medio del fotón, obtenemos un resultado importante

τλ = kλ lλ = kλ  1/kλ = 1

con lo que ahora entendemos perfectamente el significado de un grosor óptico igual a la unidad.

Cuando miramos la atmósfera desde arriba, los fotones infrarrojos que estamos viendo proceden en promedio de una altitud con τλ= 1, un resultado que ya habíamos utilizado previamente en varias ocasiones.

Ecuación de transferencia radiativa (Ecuación de Schwarzchild)

Cuando la radiación atraviesa la atmósfera en una dirección arbitraria, el principio de conservación de la energía nos obliga a establecer que el cambio de intensidad dIλ debe ser igual a la radiación emitida en el recorrido jλ ds menos la radiación absorbida kλ Iλ ds

Captura de pantalla de 2018-09-23 19-58-28

Podemos introducir el grosor óptico durante el recorrido diferencial ds como

λ = -kλ  ds

donde el signo menos se introduce para indicar que el grosor óptico aumenta con la profundidad en la atmósfera, por lo que el movimiento de la radiación en altitud implica una disminución de esta cantidad. De esa forma, el grosor óptico será máximo en la superficie y cero a una altitud arbitrariamente elevada.

La ecuación de transferencia radiativa queda entonces como

dIλ = -(jλ/kλ – Iλ) (-kλ ds) = (Iλ – Sλ) dτλ

o escrita de otra manera,

dIλ/λ= Iλ – Sλ

A la cantidad Sλ = jλ/kλ se le suele denominar función fuente.

Ley de Beer-Lambert

En el caso de que no hay emisión, sólo absorción, la ecuación de tranferencia radiativa quedaría

dIλ/λ= Iλ

que tiene una solución de atenuación exponencial de la intensidad

Iλ(τλ) = Iλ) exp (-(τλ) )

conocida como Ley de Beer-Lambert

Equilibrio termodinámico local

Con la aproximación de equilibrio termodinámico local, podemos asumir que la función fuente es la función de Planck de emisión de cuerpo negro B(T), con lo que seremos capaces de extraer la estructura de temperaturas de la atmósfera, que es lo que al final nos interesa. Por tanto, la ecuación de transferencia radiativa podremos ponerla como

dIλ/λ= Iλ – Bλ(T)

Aproximación plano-paralela

La aproximación plano-paralela consiste en asumir que las temperaturas y composición de la atmósfera varía exclusivamente en función de la altitud (presión). Podemos así definir la variación del grosor óptico en la dirección vertical (obviando ahora la dependencia con la longitud de onda) como dτ*, de tal manera que el grosor óptico en la dirección θ aumentará en una cantidad dτ = dτ*/cosθ

plano-paralela

La produndidad óptica o grosor óptico se mide desde lo alto de la atmósfera y es máxima al alacanzar la superficie.

Captura de pantalla de 2018-10-06 18-48-27

Aproximación de dos corrientes

En la aproximación de dos corrientes o flujos, consideramos sólo la radiación ascendente y descendente en la atmósfera. Podemos calcular la densidad de flujo en ambos sentidos como la intensidad integrada en un ángulo sólido correspondiente a un hemisferio

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=\int_{2\pi } I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},cos\theta )\; cos\theta\; d\Omega

con el ángulo sólido diferencial dado por

dΩ = senθ dθ dφ

y la integración correspondiente a un hemisferio con φ variando de 0 a y θ de 0 a π/2

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=2 \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},cos\theta )\; cos\theta\ sen\theta\; d\theta

Aproximación difusa

Para realizar la integración anterior es costumbre calcular el flujo como un promedio de la intensidad procedente de diferentes direcciones que suele aproximan bien con la correspondiente a un ángulos de 53º, es decir

1/cos(53º) = 5/3

Como ésta no es la única aproximación, es típico dejar este valor como una cantidad ajustable D denominada factor de difusividad, de tal manera que tenemos

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=\pi I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},D )

Transferencia radiativa en una atmósfera gris

Con las aproximaciones anteriores, podemos escribir la ecuación de transferencia radiativa para los flujos ascendente y descendente como

\frac{dF^{\uparrow}}{d\tau}=D(F^{\uparrow}-\pi B)

\frac{dF^{\downarrow}}{d\tau}=-D(F^{\downarrow}-\pi B)

La función de Planck nos permitirá introducir la temperatura de la siguiente manera

\pi B(\tau )=\sigma\, T^{4}(\tau)

Modelo radiativo puro

El flujo neto ascendente en una atmósfera donde sólo hay transporte de energía por radiación tiene que ser igual al flujo solar descendente que es constante

F_{net}=F^{\uparrow}-F^{\downarrow}= F_{\odot }

Restando las ecuaciones para flujos ascendentes y descendentes, tenemos que

\frac{F_{net}}{d\tau }=\frac{d(F^{\uparrow}-F^{\downarrow})}{d\tau}= D(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})-2\pi D B = 0

y reorganizando

\pi B = \frac{1}{2}(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})

Sumando ahora las ecuaciones para flujos ascendentes y descendentes

\frac{d(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})}{d\tau }= D(F^{\uparrow}-F^{\downarrow})=DF_{\odot }

que podemos integrar fácilmente como

F^{\uparrow}+F^{\downarrow}=DF_{\odot }\: \tau +constante

En lo alto de la atmósfera (τ=0), tenemos que el flujo descedente es nulo y el ascendente igual al flujo solar (equilibrio radiativo) por lo que podemos determinar la constante tal que

F^{\uparrow}+F^{\downarrow}=F_{\odot }\: (1+D \: \tau)

Resolviendo para los flujos ascendente y descendente,

F^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau)

F^{\downarrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: D \: \tau

Captura de pantalla de 2018 10 06 13 54 04
Figura resumen de flujos ascendentes y descendentes en una atmósfera gris en equilibrio radiativo puro. Fuente Salby 8.5.1

Y utilizando la dependencia de la temperatura de la función de Planck B

\sigma T^{4} = \pi B = \frac{1}{2}(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})= \frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (1+D \: \tau)

que nos resuelve la dependencia buscada de la temperatura con el grosor óptico

T^{4} = \frac{F_{\odot }}{2\, \sigma}\: (1+D \: \tau)

En lo alto de la atmósfera (τ=0) obtenemos el límite isotermo TSkin, que para la atmósfera terrestre es de

T_{Skin}^{4} = \frac{F_{\odot }}{2\, \sigma} = (214 K)^{4}

Para un grosor óptico efectivo D τ = 1, obtenemos la temperatura efectiva de equilibrio térmico

T_{eff}^{4} = \frac{F_{\odot }}{ \sigma} = (255 K)^{4}

A nivel del suelo, el modelo se comporta de manera algo peculiar. El flujo radiativo ascendente a la profundidad óptica del suelo es

F_{g}^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{g})

Este flujo tiene que ser igual a la emisión térmica del suelo

\sigma T_{g}^{4}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{g})

por lo que podemos poner la temperatura del suelo como

T_{g}^{4}=\frac{1}{2}\: T_{eff}^{4}\: (2+D \: \tau_{g})

Sin embargo, la temperatura del aire a medida que nos aproximamos al suelo viene dada, según el modelo, por

T^{4} = \frac{1}{2}\: T_{eff}^{4}\: (1+D \: \tau_{g})

donde queda patente que son distintas y por tanto que existe una discontinuidad en el modelo con una temperatura superficial  mayor que la correspondiente de la capa adyacente de la atmósfera. Por supuesto, dicha discontinuidad es un efecto de un supuesto de equilibrio radiativo puro que no es físicamente plausible, puesto que, como hemos visto, el hecho de que el gradiente de temperatura dT/dz aumente más rápidamente para el equilibrio radiativo que para el equilibrio convectivo produce una inestabilidad convectiva que establece, en el equilibrio, un gradiente adiabático.

Gradiente térmico

Para determinar el gradiente térmico tenemos que establecer la dependencia del grosor óptico con la altitud. Asumiendo una sección eficaz constante con la altitud (una condición que no se cumpliría por ejemplo en el caso de ensanchamiento colisional de la absorción) tendremos que la opacidad es proporcional a la densidad (y por tanto a la presión), que disminuye exponencialmente con la altitud, tal y como habíamos visto en la sección de escala de la atmósfera. Por tanto

τ = τ (z=0) exp (-z/H)

y

T^{4} = T_{Skin}^{4}\: (1+D \: \tau_{0} \, e^{-z/H})

Para el caso terrestre,

T^{4} = (214 K)^{4}\: (1+D \: \tau_{0} \, e^{-z/(8,4 km)})

radiativeeq
Gradiente térmicos resultantes del equilibrio radiativo puro para diferentes valores de la profundidad óptica τ asumiendo D = 5/3. Se compara  con un modelo radiativo-convectivo para τ = 4 (recta discontinua de rayas). Las rectas discontinuas de puntos se corresponden con un gradiente adiabático saturado que indican el límite de estabilidad. Así vemos que más abajo de unos 5 km, el gradiente térmico de equilibrio radiativo para  τ = 4 es totalmente inestable. Fuente de la imagen.

Por último, podemos estimar los flujos ascendente y descendente como

F^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{0} \, e^{-z/H})

F^{\downarrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: D \: \tau_{0} \, e^{-z/H}

Que, para D τ0 = 2 y F_{\odot }= 240W

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En la imagen de la izquierda podemos ver los flujos ascendente y descendente para D τ0 = 2 y F_{\odot }= 240W  . A la derecha podemos ver el gradiente térmico resultante con el límite isotermo  TSkin = 214 K, el límite de la temperatura del aire a medida al aproximarse al suelo T0 = 282 K y la temperatura de suelo Tg = 303 K. Fuente de la imagen

Con esto hemos resuelto totalmente el problema del gradiente de temperaturas y flujos radiativos en una atmósfera plano-paralela en la aproximación difusa de dos corrientes para un equilibrio radiativo puro.

Este resultado lo habíamos utilizado en varias entradas antes de su formalización:

  • En Modelos de equilibrio radiativo, hicimos una deducción de este modelo a partir de principios básicos y de manera algo informal  a partir de un modelo multicapa discreto de atmósfera donde cada capa estaba caracterizado por su emisividad que extrapolamos a su versión continua.
  • En Atmósferas de planetas imaginarios combinamos este modelo con el gradiente térmico adiabático para crear nuestros primeros modelos radiativo-convectivos triviales aplicados a las atmósferas planetarias para ¡crear una estratosfera! y de paso reproducir el gradiente térmico de Venus.
  • En Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452B utilizamos el modelo para entender el efecto de la gravedad sobre la temperatura superficial de un planeta.

El siguiente paso será formalizar un modelo de equilibrio radiativo-convectivo. Con estas herramientas podremos aproximarnos a muchos problemas interesantes en atmósferas planetarias, desde la introducción de absorbentes condensables como el vapor de agua, la absorción solar del ozono en la estratosfera, el efecto anti-invernadero o el efecto invernadero desbocado por saturación de vapor de agua.

Referencias


Andrews, D. G. 2010, An Introduction to Atmospheric Physics (Cambridge: Cambridge Univ. Press) § 3.7.2

Gerald R. North, Kwang-Yul Kim. 2017. Energy Balance Climate Models. Wiley § 3.3

Pierrehumbert, R. T. 2010, Principles of Planetary Climate (Cambridge: Cambridge Univ. Press) Chapter 4

Robinson, T. D., & Catling, D. C. 2012, AN ANALYTIC RADIATIVE-CONVECTIVE MODEL FOR PLANETARY ATMOSPHERES ApJ, 757, 104

Salby, M. (2012). Physics of the Atmosphere and Climate . Cambridge: Cambridge University Press § 8.5.1

Wallace, J. M. & Hobbs, P. V. 2006, Atmospheric Science: An Introductory Survey (New York: Academic) § 4.5

Formalizando un modelo radiativo de atmósfera planetaria

Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452b

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Una buena amiga —y excelente escritora de ciencia ficción— me preguntaba por el clima de un planeta con mayor gravedad que la Tierra. Y resulta ser una pregunta preciosa para aplicar los conceptos básicos de atmósferas planetarias que ya hemos utilizado en este blog.

Kepler 452b es el único candidato —no confirmado— de super-Tierra que orbita una estrella de tipo solar situada en la constelación del Cisne, a unos 1400 años-luz de distancia. Su descubrimiento fue anunciado en 2015 por el equipo del Kepler Space Telescope.

Sus características orbitales son muy similares a la Tierra, aunque apenas parece tener inclinación del eje de rotación. Su radio es 1,5 veces el de nuestro planeta y su masa no ha sido estimada con suficiente precisión, aunque parece ser algunas veces (3-7) mayor que la de la Tierra, lo que implicaría una aceleración de la gravedad mayor.

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Imagen artística que compara la Tierra con Kepler 452b

La estrella Kepler 452 es 1500 millones de años más antigua que nuestro Sol, por lo que su brillo es un 10% mayor. La “constante solar” medida en Kepler 452b estará en  torno a una 10% mayor que la terrestre, o unos 1500 W/m².

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Evolución de la luminosidad de una estrella tipo solar. Fuente

¿Qué podemos decir sobre el clima de Kepler 452b? Lo cierto es que nada, sin hacer supuestos que no tenemos sobre características atmosféricas. Pero imaginemos que fuesen similares a los de la Tierra. ¿Sería su temperatura superficial mayor o menor que la de nuestro planeta? O preguntado de otra manera, ¿tendría mayor o menor efecto invernadero?

Recordemos en primer lugar que podemos aproximar el gradiente térmico  de una atmósfera planetaria como el adiabático (con la corrección de condensación si quisiésemos hilar más fino)

dT/dz = – g/cp

Donde g es la aceleración de la gravedad y cp el calor específico a presión constante.

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Gradiente adiabático para una atmósfera terrestre muy seca.

Para una mayor aceleración de la gravedad, vemos que la temperatura disminuye más rápidamente con la altitud y, por tanto, el nivel efectivo de emisión de radiación infrarroja al espacio estará a menor temperatura. Este comportamiento provocaría la necesidad de un aumento de temperatura que incremente a su vez la emisión infrarroja hasta equilibrar la potencia solar visible que llega a la superficie. Es decir, tendríamos un mayor efecto invernadero.

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Efecto del cambio del gradiente térmico debido a la gravedad a una recta con menor pendiente (amarillo). Como al altitud de emisión se mantiene fija, resulta necesario trasladar la recta hasta que la emisión vuelva a coincidir a -18ºC, produciéndose un aumento de la temperatura superficial.

Sin embargo, una mayor gravedad implica que una atmósfera de 1 bar estará más comprimida hacia la superficie. Por tanto, la escala característica de la troposfera disminuye, aumentando la temperatura promedio de emisión y provocando un efecto contrario al anterior: un menor efecto invernadero.

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La disminución de la escala característica de la troposfera (representada por la flecha naranja) contrarrestando el efecto anterior.

¿Qué efecto predomina? ¡Ambos se cancelan mutuamente! Y eso es un principio básico importante que podemos deducir con facilidad, recordando la relación de equilibrio hidrostático e insertando la ecuación de estado de los gases ideales de la siguiente manera

dP/dz = -g ρ  = – g P/RT

donde introducimos el gradiente térmico

dP/dz = dT/dz dP/dT   = – g/cp  dP/dT = – g P/RT

y reordenando términos

dT/T = R/cp dP/P

o escrito de otra forma más conveniente

d (ln T)/d(ln P) = R/cp

nos muestra que la temperatura no depende de la aceleración de la gravedad para los diferentes niveles de presión. Esta última relación nos introduce, además, en la costumbre en atmósferas planetarias de utilizar la presión —en lugar de la altitud— como escala vertical de la atmósfera. En la imagen vemos que al representar de esta manera las atmósferas planetarias observamos un patrón alrededor de 100 mb que dos grandes de la disciplina como T. D. Robinson y D. C. Catling  intentaron explicar recientemente.

AllPlanetsT

Veamos ahora cómo cambiaría el grosor óptico (si es que lo hace) con la disminución de la escala característica de la atmósfera. Como el peso de la atmósfera debe ser el mismo para mantener 1 bar de presión en superficie (recordemos que es una condición impuesta), la masa de la atmósfera debe ser menor en proporción a la relación entre las aceleraciones de la gravedad en ambos mundos.

Eso significa que, para la misma proporción de gases de efecto invernadero, la cantidad de estos será menor y la radiación infrarroja escapa más fácilmente al espacio. El grosor óptico será menor y, por tanto, ¡habrá menos efecto invernadero!

Veamos en qué condiciones podría compensar la mayor irradiación solar de la superficie de Kepler 452b. Esta parte es algo más técnica y el lector necesita entender las relaciones que se han utilizado en entradas anteriores.

El grosor óptico total para nuestra atmósfera, en la aproximación gris (recuerden, cuando utilizamos el mismo valor promedio para todas las longitudes de onda de la radiación) es

τ0+1 = (288K/214 K)⁴ = 3,28 ⇒ τ0 ~ 2,30

con 288 K la temperatura de superficie y 214 K el límite isotermo de la tropopausa, ésta último calculada a partir del equilibrio radiativo por encima de la troposfera, tal y como se ve en la imagen.

im09_equilibrioradiativo

El grosor óptico τ (z) decrece con la altitud z debido a la disminución de la densidad atmosférica como

τ (z) = τ0 exp(-z/H)

Donde  τ0  es el grosor óptico total de la atmósfera medido desde la superficie. H es lo que denominamos la escala de la troposfera y podemos calcularla a partir de la altitud desde la que se produce la emisión efectiva a -18ºC (255 K), que, siguiendo el gradiente térmico de -6,5ºC/km, sería

zeff = (288-255)/6,5 ~ 5 km

correspondiente a una profundidad óptica

τeff = (255K/214 K)⁴ – 1 = 1

Recuerde el lector que ésta es una regla general: El grosor óptico a la altitud (presión) de la emisión efectiva (donde la temperatura es la de equilibrio radiativo) es siempre τeff = 1

Tenemos así que la escala de la troposfera viene de sustituir estas cantidades en la expresión para la variación del grosor óptico con la altitud.

1 = 2,30 exp(-5km/H) ⇒ H ~ 6 km

Para determinar la temperatura superficial de Kepler 452b asumiendo una atmósfera similar a la de la Tierra, podemos proceder de la siguiente manera.

Calculemos la potencia media que llega a la superfice del planeta para un albedo de 0,3 como el de la Tierra

S1ua = 1/4 × (1 – 0.3) × 1500 W/m² ∼ 260 W/m²

Lo que implica una temperatura efectiva de equilibrio de

T_{eff}=\sqrt[4]{\frac{260}{5,67\times 10^{-8}}}=260 K

El límite isotermo de la tropopausa será

T_{skin}=\sqrt[4]{\frac{260/2}{5,67\times 10^{-8}}}=219 K

El grosor óptico total de la atmósfera de Kepler 452b será menor en proporción a la menor masa de la atmósfera. Asumiendo densidad constante, la aceleración de la gravedad sería 1,5 veces la terrestre y la masa de la atmósfera 2/3 de la terrestre, por lo que podemos aproximar el grosor óptico de la atmósfera en Kepler 452b calculando su variación a la altitud de emisión efectiva

Δτ ~ (2/3 – 1) × τeff = -1/3

τ0 = 2.3 – 1/3 = 1,97

Lo que nos lleva a una temperatura superficial

T_{S}=\sqrt[4]{1,97+1}\times  219 K=287,4 K

o algo más de medio grado por debajo de la temperatura superficial de nuestro planeta. Eso significa que la tendencia a ser un planeta más cálido —debido a la mayor luminosidad que recibe de la estrella— quedaría prácticamente compensado por la disminución de la cantidad de atmósfera para mantener la condición impuesta de 1 bar de presión superficial.

Como comparación con nuestro planeta, la altitud efectiva de emisión estaría a

zeff = (287-260)/(6,5×1,5) ~ 2,8 km

Y la escala característica de la troposfera sería

1 = 1,97 exp(-2,8km/H) ⇒ H ~ 4 km

una cantidad que podíamos haber estimado simplemente como 2/3 de la escala de la troposfera en la Tierra.

Quizás sería más razonable pensar que un planeta con mayor gravedad tienda a retener más gases y acumular una mayor presión de superficie, aunque no es una regla general ni mucho menos (pensemos en las densas atmósferas de Venus o Titán por ejemplo). Nuestras condiciones para Kepler 452b, por supuesto, sólo tenían como pretensión entender la aplicación de los principios físicos básicos y no modelar la temperatura superficial del exoplaneta. ¿No me digan que la física de las atmósferas planetarias no es bonita?

Referencias

Hu Y., Wang Y., Liu Y., Yang J., 2017, Climate and Habitability of Kepler 452b Simulated with a Fully Coupled Atmosphere–Ocean General Circulation Model ApJ, 835, 6

 

Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452b

Móviles perpetuos en atmósferas planetarias

La mayoría de entradas de este blog se han limitado a conceptos básicos, aunque hemos realizado algunos modelos interesantes algo más avanzados. La filosofía implícita es que la correcta aplicación de los conceptos básicos puede a uno llevarlo bastante lejos y, por el contrario, su deficiente comprensión a hacer el ridículo con facilidad.

Hoy vamos con un ejemplo que además nos demostrará cómo el uso de conceptos básicos que hemos desarrollado en este blog —más otros conceptos de termodinámica básica—, pueden ayudarnos a desmontar una idea que ha circulado por ahí y que incluso se ha publicado en una revista académica con el lamentable consentimiento de los revisores; Un ejemplo más de que el proceso de revisión por pares no siempre funciona (ver el comentario sociológico al final de la entrada).

El argumento consiste en que el calentamiento de la superficie de una atmósfera planetaria se debe básicamente a la presión y no a los gases de efecto invernadero (gei). Así, Venus tiene una presión elevada (90 bar) y una temperatura superficial descomunal (467ºC) y Marte un presión muy baja (6 mb) y una tª superficial típica de -55ºC. La Tierra ocuparía un lugar intermedio entre ambos.

Para demostrar el absurdo del argumento, empecemos con nuestro socorrido modelo de atmósfera sin gei, tal y como una atmósfera de nitrógeno puro. En el equilibrio radiativo, la emisión de la superficie sería igual a la radiación solar incidente. Por ejemplo, para nuestro planeta, los flujos radiativos quedarían de la siguiente manera:

equlibrioradiativo

Ese equilibrio radiativo se produce con una temperatura de superficie de -18ºC. Si pretendemos aumentar esa temperatura necesitamos un mecanismo que proporcione trabajo, creando un flujo descendente de energía. Un buen símil es el trabajo que hacemos con una bomba cuando inflamos el neumático de una bici. El aire se calienta y la causa de esta elevación momentánea de la temperatura es el trabajo realizado que provoca compresión; ¡Termodinámica básica!

Uno podría pensar que ese trabajo podría proporcionarlo la gravedad en este caso. Pensemos en una contracción gravitatoria, donde el gas se calienta por el trabajo realizado debido al cambio de energía potencial en la contracción. ¡Pero la atmósfera ya estaba ahí! ¡Y está en equilibrio hidrostático!

El equilibrio hidrostático establece una relación entre presión, densidad y temperatura proporcionadas por la ecuación de estado (la de un gas ideal por ejemplo) y la primera ley de la termodinámica. Podemos poner esas cantidades en función de la altitud en la atmósfera, pero sólo está determinada la pendiente de la variación y no sus valores absolutos (ver El origen del gradiente térmico de la troposfera)

dryadiabaticlapserate.png Imagen PNG 660 × 436 píxeles

La escala de temperaturas estará precisamente determinada por el equilibrio radiativo. En el caso de nuestro planeta Tierra imaginario con una atmósfera sin gei, esa temperatura sería de -18ºC. Al introducir gases de efecto invernadero, dicho equilibrio radiativo se traslada desde la superficie a una capa más elevada en la atmósfera. Y eso determina unívocamente la temperatura de la estratosfera como límite isotermo (214 K)

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A partir de ahí, la concentración de gases de efecto invernadero nos permite calcular un parámetro conocido como grosor óptico que determina exactamente el gradiente térmico de equilibrio radiativo de la atmósfera.

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Gradiente térmico de equilibrio radiativo T⁴(z) = 214⁴ (1+τ0 exp(-z/H)) calculado para una concentración de CO2 de 3 ppm con grosor óptico total τ0 = 1.08 y una escala de troposfera H = 2,6 km (ver Atmóferas de planetas imaginarios)

 

Y ahora sí que existe un flujo de energía extra hacia la superficie generado por los gei. Por supuesto, todos los flujos están equilibrados ¡cumpliendo las leyes de la termodinámica!

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Balance energético de la atmósfera real de nuestro planeta actualizado recientemente por Graeme L. Stephens et al. 2012.

En la imagen vemos que los gei contribuyen a generar un flujo infrarrojo hacia la superficie de unos 350 W/m² que, junto a los 170 W/m²  que llegan como luz solar visible, fuerza el calentamiento de la superficie hasta unos 15ºC de media hasta emitir unos 400 W/m².

Por supuesto, ya hemos visto que ese flujo de radiación infrarroja hacia la superficie ha sido medido en muchas ocasiones justo con las características espectrales esperadas como resultado de la emisión de los gei presentes en la atmósfera.

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Radiación IR hacia la superficie medida por Ellingson & Wiscombe (1996) en Wisconsin en 1991

Caso cerrado.

Anotación sobre sociología del proceso de revisión por pares

La idea de que el calentamiento de la superficie de un planeta se debe en gran parte a la presión atmosférica fue publicada bajo seudónimos por el físico  Ned Nikolov (como Den Volokin) y el meteorólogo retirado Karl Zeller (como Lark ReLlez) con la excusa de no interferir con el proceso de revisión, ya que sus ideas habían sido discutidas ampliamente en la esfera negacionista. La primera publicación (un artículo que, dicho sea de paso, no deja de ser interesante en algunas partes) fue aceptada por SpringerPlus en 2014. La segunda por Advances in Space Research en 2015. Esta última fue retira pocos meses después, como consta en el enlace.

Lo preocupante es que ambas pasasen el proceso de revisión por pares. Como hemos visto en esta entrada, se trataba sólo de manejar con cierta soltura los fundamentos de una disciplina, algo que se le supone a un revisor, más aún si hasta un humilde servidor, sólo un aficionado, puede construir el argumento para su rechazo sólo en base a principios básicos.

Y algo incluso más preocupante es que la retirada del artículo se haya producido en base a cuestiones relacionadas con los autores, como el hecho de haber utilizado seudónimos o tener una agenda negacionista, y no en base a la calidad de sus argumentos, algo que tampoco debería ocurrir en el proceso de revisión de las publicaciones.

El mismísimo Roy Spencer, el conocido escéptico (fíjese el lector que no digo negacionista) del cambio climático antropogénico tuvo que escribir una entrada en su blog para poner en orden el desvarío sobre física fundamental de atmósferas planetarias que se podía leer en estos artículos, aún sin mencionarlos.

Una actitud que me ha extrañado en toda esta historia es la de David Grinspoon, un conocido científico planetario, al considerar las ideas de Nikolov interesantes aunque no las formas que ha utilizado para su publicación.

En definitiva, un extraño caso donde nada ha funcionado como debería en el proceso de revisión por pares.

Móviles perpetuos en atmósferas planetarias

¿Por qué la fotosfera solar emite como un cuerpo negro?

El mal llamado efecto invernadero en las atmósferas planetarias no es más que un caso particular de transporte radiativo, originalmente estudiado en la estructura de las estrellas a partir de los trabajos pioneros de Karl Schwarzchild en la primera década del siglo XX.

El reactor de fusión en el núcleo solar produce radiación que interacciona continuamente con la partículas cargadas del plasma solar. Es bastante conocido, aunque no por ello deje de sorprendernos, que el transporte de energía provocado por las continuas absorciones y emisiones de los fotones pueda tardar decenas de miles de años en alcanzar la fotosfera solar en un largo “andar de borracho”.

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Fuente de la imagen

Podríamos entender la fotosfera solar —desde donde escapa la luz que llega hasta nuestras retinas— como el análogo a la tropopausa de una atmósferas planetaria calentada desde abajo; Una zona de unos 400 km de espesor situada a unos 700.000 km del centro del Sol donde se produce el final del ascenso de las células convectivas que dan lugar a la estructura granulada que vemos en la imagen inferior. La fotosfera es menos densa que la atmósfera terrestre (~10⁻⁹ – 10⁻⁷ g/cm³ frente ~10⁻³ – 10⁻⁴ g/cm³) y en su parte más alta es donde se alcanza la temperatura más baja que podemos medir en el Sol, unos 4000ºC.

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Fuente: Wikipedia

En la siguiente imagen podemos ver su similitud con una atmósfera planetaria. En la parte más profunda de la fotosfera, donde domina la convección, tenemos un gradiente constante de temperatura de tipo adiabático que, como análogo de lo que ocurre en la tropopausa, presenta una temperatura mínima de unos 4000ºC.

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Temperatura según la altitud medida desde la base de la fotosfera, caracterizada por una profundidad óptica τ = 1 . (Izq.) Fuente. Temperatura mínima de la fotosfera con modelos recientes. (Dcha.) Fuente.

Cuando miramos al Sol, vemos el grueso de la radiación visible proceder de la parte más profunda de la fotosfera. Esa profundidad óptica viene determinada por la opacidad, que es una medida de los transparente que es un medio al paso de la radiación. Una profundidad óptica τ = 0 indica un medio totalmente transparente (estaríamos mirando la parte alta de la fotosfera donde se alcanza la temperatura mínima).  τ = 1 indica una profundidad donde la cantidad de radiación ha disminuido en 1/e (e es la base de logaritmos naturales). En la niebla, ésta sería la distancia donde empezaríamos a dejar de ver las figuras nítidas. En la fotosfera solar sería la mayor profundidad desde la que vemos llegar la luz.

Esa disminución exponencial de la cantidad de radiación que atraviesa un medio es lo que se conoce como ley de Beer-Lambert. En este mismo blog ya hemos señalado que τ = 1 es la profundidad óptica característica de donde provienen la radiación emitida al espacio por una atmósfera planetaria a su temperatura efectiva de equilibrio.

En la figura a continuación vemos señalada como  la profundidad L (~400 km) de donde procede el grueso de la radiación de la fotosfera equivalente a τ = 1.

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Oscurecimiento hacia el limbo. L es la distancia para τ = 1 . Los fotones emitidos en A apenas escaparán de la fotosfera. Igualmente ocurre los fotones emitidos a menor temperatura en B. Téngase en cuenta que para el dibujo no está a escala. Fuente

A medida que la línea de visión se mueve desde el centro al borde del disco solar, esa misma profundidad óptica nos lleva a capas situadas a mayor altitud en la fotosfera, más frías y, por tanto, con una menor emisión. Es el fenómeno de oscurecimiento hacia el limbo que observamos al contemplar el disco solar.

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Imagen del disco solar en el visible tomada durante un tránsito de Venus en 2012. Fuente

El oscurecimiento hacia el limbo también se ha observado en otras estrellas, como en la primera imagen de un disco extra-solar que el Hubble Telescope tomó de Betelgeuse en 1995 y que muestra claramente el fenómeno.

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Imagen de Betelgeuse tomada en 1995 por el HST en longitudes de onda cercanas al ultravioleta donde la opacidad es elevada. Se puede apreciar en ella el oscurecimiento hacia el limbo. Fuente

El astrónomo germano-estadounidense Rupert Wildt  señaló en 1939 al principal culpable de la elevada opacidad de la parte baja de la fotosfera solar. Se trata del anión de hidrógeno (hidrógeno con dos electrones) con un segundo electrón débilmente ligado (0.754eV) y, por tanto, fácilmente foto-disociable por radiación en el rango infrarrojo y visible del espectro.

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Los cálculos mecano-cuánticos de opacidades son mucho más complejos y fueron realizados años más tarde por Subrahmanyan Chandrasekhar.

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Representación logarítmica de la opacidad frente a temperatura donde se observa como a temperaturas típicas de la fotosfera (<10⁴ K) domina el anión hidrógeno. Para temperaturas mayores domina  la ley de Kramers, debida principalmente a fotoinonizaciones  y, a medida que aumenta la temperatura, la contribución de las ionizaciones. A partir de ~ 2·10⁷grados, cuando el gas está casi completamente ionizado, domina el scattering de electrones. Fuente

La parte baja de la fotosfera se encuentra a unos 6500ºC. La radiación escapa desde diferentes partes de la fotosfera a diferentes temperaturas. El resultado es en promedio una temperatura efectiva de emisión de unos 5500ºC.

Cuando asignamos una temperatura efectiva de 5500ºC, estamos considerando que la radiación emitida por el Sol se ajusta muy bien a un espectro característico de un cuerpo negro, es decir, un sistema físico idealmente en equilibrio térmico que absorbe y reemite toda la radiación que recibe. Debido a la elevada opacidad de la fotosfera,  provocada por el anión de hidrógeno, el espectro solar se ajusta excelentemente bien al de un cuerpo negro para el rango visible e infrarrojo centrado en el amarillo, a 550 nm.

ixquick proxy.com do spg show_picture.pl l english rais 1 oiu http 3A 2F 2Fwww.phinet.cl 2Fds 2Fwp content 2Fuploads 2F2016 2F02 2FEspectro radiaci 25C3 25B3n Solar Editado de Wikipedia.

Un espectro no es más que la representación de la potencia que emite cada longitud de onda de la radiación, relacionada, como sabemos, con su color. Así que Wildt nos proporcionó la explicación física detallada del color amarillo que vemos al mirar el Sol.

Las desviaciones del espectro de cuerpo negro ideal que observamos en la imagen se deben a dos razones básicas: a la absorción de las capas superiores de la atmósfera solar (cromosfera y corona) principalmente en el ultravioleta y al hecho de que la emisión de la fotosfera no se produzca, como hemos señalado, desde una profundidad concreta a una determinada temperatura, sino desde diferentes profundidades y temperaturas.

[Actualización 22/08/2018]

He simplificado el título de la entrada y corregido el uso indiscriminado de opacidad y profundidad óptica como sinónimos (utilizaré a partir de ahora grosor óptico). Aunque al nivel elemental con el que hemos trabajado hasta ahora sean intercambiables, técnicamente no lo son y en esta entrada podía llevar a cierta confusión. De hecho, no quedaba especialmente claro por qué algunos autores hablan de elegir la base de altitudes de la fotosfera para un grosor óptico τ = 1 y otros en τ = 2/3. Lo cierto es que τ = 2/3 define la profundidad de emisión a la temperatura efectiva de 5778 K mientras que τ = 1 es de donde proviene el grueso de la radiación y parece la definición natural de base de la fotosfera.

Por supuesto, al seleccionar el mismo grosor óptico para todas las longitudes de onda estamos utilizando la aproximación gris que hasta la fecha siempre hemos utilizado en este blog por su sencillez. Hacer los cálculos de transferencia radiativa apropiadamente requiere establecer su dependencia con la longitud de onda. En algún momento, tengo como objetivo ver cómo se hace para un modelo sencillos de bandas.

Una referencia técnica que es una delicia pedagógica al respecto es

 

¿Por qué la fotosfera solar emite como un cuerpo negro?

Atmósferas de planetas imaginarios

Llevo meses pensando en el problema del perfil de temperaturas de una atmósfera de nitrógeno puro en un planeta, por todo lo demás, análogo al nuestro. Y es un problema muchísimo más sutil e interesante de lo que pensé en un principio. De hecho, a día de hoy podemos decir que no es un problema general completamente resuelto o, al menos, en cuya solución no hay un acuerdo unánime. Pero, como veremos, tampoco es un problema esencialmente relevante para los modelos de una atmósfera con GEI, donde el papel de estos en la estructura de la atmósfera está bastante claro. Por supuesto, esto último tampoco ha servido de freno para que muchas fuentes (sobre todo cercanas al negacionismo) hayan intentando utilizar este mismo experimento mental para “demostrar” que el calentamiento de la superficie es consecuencia de la termodinámica de un gas ideal bajo la acción de la gravedad y no de los gases de efecto invernadero. Y como siempre, se trata en el mejor de los casos de poca comprensión de la física básica de la atmósfera y en el peor de una simple paparrucha.

Historia de un debate: ¿Atmósfera isotérmica o gradiente adiabático?

En 1876, Josiah Willard Gibbs publicaba una demostración donde maximizaba la entropía de un gas ideal ideal en un campo gravitatorio con conservación de la masa, volumen y energía interna más potencial,  llevando a una condición de equilibrio isoterma, es decir, un perfil de temperatura constante con la altitud.

En el contexto de la teoría cinética de los gases, Ludwig Eduard Boltzmann llegó a la misma conclusión en 1896 utilizando su teorema H.  Se puede demostrar de esa manera que la distribución de velocidades en un gas bajo la fuerza de la gravedad se corresponde con una distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann a la misma temperatura. Intuitivamente no es trivial, puesto que uno podría pensar que las moléculas pierden energía al ascender y eso se correspondería con una menor temperatura con la altitud (como además confirma la observación del gradiente térmico atmosférico). Pero hay que considerar que el efecto de la mayor probabilidad de ascenso de las moléculas más energéticas se compensa con la mayor probabilidad de descenso de las menos energéticas.

En su “Teoría del calor” de 1907, James Clarke Maxwell llega a la misma conclusión de una atmósfera isoterma como condición de equilibrio termodinámico, pero matiza que en la atmósfera real, aparte del desequilibrio introducido por la radiación solar, existen movimientos convectivos que establecen otro tipo de equilibrio que Lord Kelvin denominó, lógicamente, equilibrio convectivo en un artículo de 1863 “On the convective equilibrium of the temperature in the atmosphere” y que establece un gradiente adiabático de temperaturas como condición de equilibrio.

Ese mismo año, Lord Kelvin explicaba el establecimiento del equilibrio convectivo de la siguiente manera: la emisión de radiación térmica de las capas altas de la atmósfera enfrían el aire que se vuelve más denso y desciende compensando el ascenso de aire caliente más cercano a la superficie. El proceso se produce tan rápido que no hay intercambios de calor por conducción o radiación (condición adiabática).

Curiosamente, tan pronto como en 1924 Pierre Simon de Laplace —citado por Nicolas Léonard Sadi Carnot en su clásico Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego y sobre las máquinas adecuadas para desarrollar esta potencia— ya era escéptico de esta explicación, muy anterior a la del propio Lord Kelvin, aunque por las razones equivocadas. Laplace argumentaba:

¿No es el enfriamiento del aire por dilatación al que debe atribuirse el frío de las regiones superiores de la atmósfera? Las razones dadas hasta la fecha para explicar este frío son bastante inadecuadas; se dice que el aire de las regiones elevadas, recibiendo poco calor reflejado por la tierra y radiando él mismo a los espacios celestiales, pierde calor y esa es las causa de su enfriamiento. Pero esta explicación es destruida si notamos que a diferentes altitudes el frío reina también e incluso con más intensidad en las llanuras elevadas que en las cimas de las montañas o en las partes de la atmósfera lejos de la tierra.

La explicación de Lord Kelvin apunta a la relevancia del enfriamiento radiativo y por tanto a lo crucial de la existencia de gei activos en el infrarrojo para provocar el gradiente observado.

Por supuesto, todo el mundo termina aceptando la existencia de un equilibrio convectivo en la atmósfera; ¡Nadie puede desentenderse de la la realidad! Pero este tipo de equilibrio seguía huérfano de una explicación desde primeros principios y simplemente se introducía como un hecho observacional.

Un planeta imaginario

Comencemos imaginando un planeta idéntico a la Tierra pero con una atmósfera que sólo contuviese nitrógeno.

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Por supuesto, tal planeta no podría ser tan parecido a la Tierra actual. Si contuviese océanos, por ejemplo, el agua se evaporaría y la atmósfera ya no sería de nitrógeno puro. Al no existir efecto invernadero, la temperatura sería los suficientemente baja para helar la superficie oceánica. Ambas posibilidades cambiarían el albedo, es decir, la cantidad de luz solar reflejada al espacio. Así que estamos definiendo nuestro planeta imaginario como uno con el mismo albedo que la Tierra pero con una atmósfera pura de nitrógeno. Admitamos vaca esférica, sin embargo, en beneficio de la argumentación.

Una atmósfera de nitrógeno es casi perfectamente transparente a la luz solar y a la radiación térmica infrarroja. La superficie de nuestro planeta se calentaría por la luz solar emitiendo radiación infrarroja que ascendería libremente por la atmósfera hasta escapar directamente al espacio.  En el momento que se igualaran los flujos de energía, la temperatura de la superficie se mantendría constante a -18ºC, como ya habíamos calculado en el modelo básico de equilibrio utilizando el albedo actual de la Tierra.

El hecho de una temperatura media tan baja mantendría la superficie del océano helada y aumentaría el albedo, lo que disminuiría más aún la temperatura en un ejemplo de lo que se denomina un ciclo de retroalimentación positiva (el conocido como feedback hielo-albedo). Esa temperatura, además, implica que es imposible que se produzca la condensación del nitrógeno a -196ºC, por lo que no existirían nubes, lo que variaría de nuevo el albedo del planeta.

Para quien esté pensando que estas cosas no son aplicables al mundo real, tenemos por ejemplo los recientes datos de New Horizons de la atmósfera de Plutón, que indican una composición de nitrógeno con pequeñas trazas (menos del 1%) de otros gases como el metano y el monóxido de carbono. La temperatura es tan baja que el metano y el nitrógeno se condensan probablemente en torno a partículas de polvo que entran en la atmósfera procedentes del espacio, formando niebla que termina como nevada de metano y nitrógeno sobre la superficie.

Pero continuemos con nuestro planeta imaginario. La superficie calentada por el sol calienta a su vez el nitrógeno adyacente por conducción y empieza a actuar la convección. En ese momento, bolsas de nitrógeno más calientes que su entorno empiezan a elevarse y lo hacen más rápidamente de lo que puede ascender el calor por conducción. El nitrógeno ascendente se expande y enfría debido a la disminución de la presión con la altitud, por un simple principio de equilibrio hidrostático añadida la condición adiabática, es decir, que el ascenso es suficientemente rápido para que no exista la posibilidad de intercambio de calor con el medio. Dichos movimientos convectivos terminan por establecer una condición de equilibrio consistente en una disminución constante de la temperatura de unos 10ºC por cada kilómetro de ascenso, lo que se conoce como gradiente térmico adiabático seco (ver El origen del gradiente térmico de la troposfera)

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La atmósfera de nuestro planeta imaginario sería básicamente una troposfera con una temperatura de -18ºC en superficie y un gradiente de -10ºC/km.

Añadamos gases de efecto invernadero

Nuestro planeta imaginario sufre de repente un periodo de erupciones volcánicas imaginarias que añaden un poco de CO2 a la atmósfera, digamos hasta aumentar la concentración a 3 ppmv. Eso significa, en números redondos, la emisión de unas 23 GtCO2, una cantidad del mismo orden que las emisiones industriales de 7 meses o aproximadamente las emisiones de un supervolcán tipo Toba.

Ahora la atmósfera absorbe y emite radiación infrarroja. El grueso de esta radiación ya no escapa al espacio desde la superficie, sino desde más arriba en la atmósfera que estará más fría. Menos energía abandona la atmósfera y se tiene por tanto que producir un calentamiento hasta que la temperatura característica de emisión vuelva a ser la de equilibrio (-18ºC). Veamos cómo funciona.

En primer lugar tendríamos que calcular cuánta energía abandona ahora la atmósfera. La manera correcta de hacerlo sería calcular la profundidad óptica de la nueva atmósfera. La profundidad óptica no es más que una medida de la transparencia de la atmósfera al paso de la radiación infrarroja. Si es cero (no hay gases de efecto invernadero), la atmósfera es completamente transparente. Si es muy grande, la radiación apenas viaja en la atmósfera antes de ser absorbida.

Sin embargo, ese cálculo es complicado. Requiere utilizar el espectro del CO2 y calcular la absorción que produce cada longitud de onda. Uno de mis objetivos en este blog es entender cómo hacer exactamente ese tipo de cálculos, pero de momento nos conformaremos con el script de MODTRAN, una implementación del cálculo simplificando el espectro  muestreándolo en bandas de 1 cm⁻¹ para no tener que utilizar cada línea de absorción/emisión en cada frecuencia. Para que nos hagamos una idea, en la imagen podemos ver casi 100 mil líneas del espectro del CO2 alrededor de la línea principal centrada en 667.6 cm⁻¹ (14.98 μm)

co2spectra

El script de MODTRAN está implementado para la atmósfera terrestre, por lo que el resultado debe tomarse sólo como representativo.

Coloquemos ahora un satélite en una órbita a 700 km de altitud para medir el espectro de nuestro planeta imaginario sin gases de efecto invernadero. Veríamos, idealmente, algo así:

MODTRAN Infrared Light in the Atmosphere

Vemos en azul el modelo de un espectro térmico continuo de emisión característico de un cuerpo en equilibrio térmico a 255 K (-18ºC), es decir, estamos viendo la emisión de la superficie del planeta que atraviesa inalterado una atmósfera transparente al infrarrojo. El resto de espectros térmicos están ahí sólo como referencias de temperaturas de emisión. La potencia total emitida es de unos 235 W/m².

Añadamos ahora 3 ppm de CO2 y veamos qué cambios se producen

MODTRAN Infrared Light in the Atmosphere(1)

Observamos ahora claramente la línea de absorción principal del CO2 en 667.6 cm⁻¹ y cómo la emisión central de esa línea se está produciendo desde muy arriba en la atmósfera a una temperatura por debajo de 220K. Veremos más abajo qué significa exactamente ese valor.

Vemos además que la potencia total emitida ha disminuido de 235 W/m² a 227 W/m². Al emitirse al espacio menos energía, no queda otro remedio que  se produzca calentamiento hasta restablecer el equilibrio anterior. Podemos estimar dicho cambio de temperatura jugando con el Offset para recuperar la potencia superficial emitida.

MODTRAN Infrared Light in the Atmosphere(2)

Teníamos un Offset de -33ºC para llevar la temperatura superficial de MODTRAN para la superficie terrestre de 15ºC a -18ºC, es decir, para neutralizar el efecto invernadero presente en nuestra atmósfera. Vemos que un efecto invernadero de +2ºC restablece la emisión inicial (recuerde el lector que el cálculo es sólo estimativo).

Como el gradiente térmico se mantiene en -10ºC/km, eso significa que la altitud efectiva de emisión está ahora a unos 200 m sobre la superficie. Como comparación, en la atmósfera real, con un gradiente térmico de -6,5 ºC/km, la altitud efectiva de emisión es de unos 5 km. Aunque en la atmósfera real es importante el papel del vapor de agua, esa comparación nos da una buena idea de la diferencia de opacidad al infrarrojo de ambas atmósferas.

Hemos visto anteriormente que el transporte radiativo en la atmósfera tiende a dominar las capas altas estableciendo una temperatura de 214 K como límite al que tiende una atmósfera superior isoterma. Para entender de manera sencilla ese valor, sólo tenemos que asumir que las capas altas están en equilibrio térmico con la emisión que viene desde abajo. El equilibrio significa que la absorción de la emisión que viene desde abajo (emisión efectiva) se reemite en todas direcciones, resultando la mitad hacia arriba y la mitad hacia abajo.

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La profundidad óptica  τ0 a través de toda la atmósfera podemos estimarla entonces como (ver modelos de equilibrio radiativo)

τ0+1 = (257K/214 K)⁴ = 2,08 ⇒ τ0 ~ 1,08

La profundidad óptica decrece con la altitud  debido a la disminución de la densidad atmosférica como

τ (z) = τ0 exp(-z/H)

H es lo que denominamos la escala de la troposfera y podemos calcularla a partir la altitud desde la que se produce la emisión efectiva  a z = 200 m como

τeff = (255K/214 K)⁴ – 1 = 1

1 = 1,08 exp(-200m/H) ⇒ H ~ 2600 m

La temperatura de equilibrio radiativo a cualquier altitud, puede escribirse entonces como

T⁴(z) = 214⁴ (1+τ0 exp(-z/H))

Comparemos el gradiente de temperaturas que produce el equilibro radiativo puro con el provocado por la convección.

radiativo-convectivo

Vemos cómo a partir de lo que hemos denominado la escala característica de la troposfera (H), empieza a dominar el transporte radiativo sobre el convectivo y la atmósfera tiende rápidamente a ser isoterma. ¡Hemos creado una estratosfera!

Por supuesto, la estratosfera de la Tierra está calentada por el ozono, produciéndose una inversión térmica en torno a los 20 km de altitud (ver El clima de la estratosfera) Pero Marte y Venus carecen de ese calentamiento. Veamos cómo se comporta una aplicación sencilla de nuestro modelo a Venus

La temperatura de equilibrio de Venus puede calcularse a partir de la de la Tierra recordando que el flujo solar medio recibido en la superficie a 1 u.a. para un planeta de albedo a

S1ua = 1/4 × 1361 (1-a) = 340 (1-a) W/m²

Como Venus se encuentra a 0,72 u.a y tiene un albedo de 0,65

SVenus = 340 W/m² × (1-0,65) × (0,72)⁻² = 230 W/m²

Y una temperatura de equilibrio

T_{e}=\sqrt[4]{\frac{230}{5,67\times 10^{-8}}}=252 K

Con ese dato podemos relacionar la temperatura de la superficie y la la altura efectiva de emisión ze

TS – 252 K = 8 K/km × ze

Para una temperatura superficial de 740 K medida in situ por las sondas Venera, tenemos una altitud efectiva de emisión de unos 60 km.

La razón de un valor tan elevado  de la altitud de emisión en Venus es, por supuesto, la enorme opacidad al infrarrojo al CO2 que calienta una densa atmósfera provocando movimientos convectivos hasta gran altitud que tienden rápidamente a la estabilidad adiabática.

La temperatura de la estratosfera, en equilibrio radiativo con la emisión de la troposfera, sería

T_{s}=  2^{-1/4} T_{e} =212 K

Y así tenemos una opacidad de

( τs+1) = (740K/212 K)⁴ ~ 150

Como hicimos con nuestro modelo, podemos calcular la escala de la troposfera utilizando el hecho de que τeff = (252K/212 K)⁴ – 1 = 1

1 = 150 exp(-60 km/H) ⇒ H ~ 13 km

Y construir nuestro modelo radiativo-convenctivo simple para Venus como

Gradiente adiabático T(z) = 740 – 8  z

Gradiente de equilibro radiativo T⁴(z) = 212⁴ (1 + 150  exp(-z/13))

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Que reproduce la estructura básica del perfil de temperaturas, aunque la atmósfera de Venus añade la complejidad de la existencia de una capa importante de nubes a unos 50 km, donde comienza a dominar el equilibrio radiativo.

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No está nada mal conseguir modelar la estructura básica de una atmósfera planetaria con un modelo tan sencillo. De hecho, modelos radiativo-convectivos ligeramente más elaborados pueden hacer un trabajo excelente en comprender la base de la estructura de una atmósfera planetaria. Ese fue precisamente el objeto del trabajo pionero de Carl Sagan junto a James Pollack con la atmósfera de Venus en los sesenta del siglo pasado. Pero esa es otra historia.

Atmósferas de planetas imaginarios

El calentamiento de un invernadero y las dificultades de la física básica

En 1901, el meteorólogo sueco, gran amigo de Arrhenius, Nils Gustaf Ekholm (1848 – 1923)  publicó una explicación somera pero correcta del mecanismo de calentamiento de la atmósfera por gei. Sin embargo también introdujo la conocida analogía con un invernadero de jardinería. En sus propias palabras:

La atmósfera desempeña una parte muy importante de un doble carácter en cuanto a la temperatura de la superficie terrestre, de las cuales la primera fue apuntada por Fourier, mientras que la otra fue señalada por Tyndall. En primer lugar, la atmósfera puede actuar como el cristal de un invernadero, dejando pasar los rayos de luz del sol con relativa facilidad, y absorbiendo una gran parte de los rayos oscuros [infrarrojo] emitidos desde el suelo, y por tanto, aumentando la temperatura media de la superficie terrestre. En segundo lugar, la atmósfera actúa como acumulador de calor colocado entre el suelo relativamente caliente y el espacio frío, y por tanto disminuyendo en un grado elevado las variaciones anuales, diurnas, y locales de la temperatura.

Hay dos cualidades de la atmósfera que producen estos efectos. Una es que la temperatura de la atmósfera en general, disminuye con la altura sobre el suelo o el nivel del mar, debido en parte al calentamiento dinámico del descenso de las corrientes de aire y la refrigeración dinámica de las ascendentes, como se explica en la teoría mecánica del calor. La otra es que la atmósfera, absorbiendo sólo un poco de la insolación y la mayoría de la radiación del suelo, recibe una parte considerable de su almacén de calor de la tierra por medio de radiación, contacto, convección y conducción, mientras que la superficie de la tierra se calienta principalmente por la radiación directa del sol a la que el aire es transparente.

Se sigue de esto que la radiación de la tierra al espacio no se emite directamente desde el suelo, sino, en promedio, desde una capa de la atmósfera que tiene una altura considerable sobre el nivel del mar. La altura de esta capa depende de las propiedades térmicas de la atmósfera, y variará con esas propiedades. Cuanto mayor es el poder de absorción del aire para los rayos de calor emitidos desde el suelo, mayor será la altitud de dicha capa, pero cuanto más elevada esté la capa, menor será su temperatura relativa a la de la superficie; y como la radiación desde dicha capa hacia el espacio es menor cuanto más baja es su temperatura, se deduce que la superficie será más caliente cuanto más elevada esté la capa radiante.nilsekholm-640x455

Podemos representar la analogía de Ekholm con la siguiente figura.

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El dudoso uso de la analogía dio lugar a varios debates interesantes durante la siguiente década que resumía en una entrada en Naukas, pero el momento a destacar es 1909, cuando el físico norteamericano Robert Williams Wood (1868-1955) —conocido por su refutación de la existencia de los rayos N— publicaba una breve anotación en la revista Philosophical Magazine describiendo un experimento con dos invernaderos en miniatura idénticos salvo por el hecho de que en uno utiliza un cristal de sal gema (transparente al infrarrojo) para dejar pasar la luz y en el otro el clásico vidrio opaco a una parte del espectro infrarrojo. No observando apenas diferencias de temperaturas alcanzadas, concluía que el mecanismo principal de calentamiento en un invernadero de jardinería es la supresión de la convección y no la opacidad del vidrio al infrarrojo.

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Experimento con dos modelos de invernadero de Robert Woods. Fuente.

El resultado de Wood se consideró generalmente como correcto, pues la explicación parecía sencilla y plausible. Sin embargo, cometió el error de aplicar su resultado al mecanismo descrito por Ekholm para la atmósfera y así convertirse en uno de los primeros escépticos de la relevancia de los gei en el calentamiento de la atmósfera.

Lo cierto es que Wood tampoco dio detalles suficientemente concretos sobre su experiencia. Y sólo hasta hace relativamente pocos años no se han producido replicaciones del experimento. Para mayor polémica si cabe, las dos replicaciones de las que tengo noticias llevan a resultados contradictorios.

Vaughan R. Pratt de Stanford hizo una crítica del procedimiento de Wood y encontró que el modelo de invernadero con vidrio se calienta más. El resultado del experimento del biólogo mexicano Nasif S. Nahle sin embargo respalda a Wood. Para añadir otro golpe de efecto al asunto, ninguna de las dos replicaciones ha sido publicada y tenemos que fiarnos de sus autores, aunque me decantaré por el resultado de Pratt por dos razones.

La primera es el reconocido negacionismo de Nahle, que tiene motivaciones para obtener un resultado que respalde a Wood, base de algunos argumentos negacionistas que han caído en el mismo error básico que el propio autor citado, con el agravante de obviar todo un siglo de ciencia.

La segunda razón procede de argumentos teóricos. De hecho, pocas semanas después de la publicación del artículo de Wood, el astrofísico Charles Greeley Abbot (1872 – 1973) contestó en la misma revista dudando, en base a argumentos teóricos, del resultado de su experimento y mostrándole, acertadamente, su equivocación al aplicarlo a la atmósfera terrestre.

Tenemos que irnos hasta 1976 para encontrar una publicación en Science que hace el cálculo suficientemente explícito. Intentemos su reproducción.

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Asumiremos una aproximación horizontal con todo el flujo de energía a través de una lámina de vidrio de un espesor d = 5 mm y una diferencia de temperaturas entre el borde interior y exterior (Ti – Te). El calor interior se trasmite al exterior exclusivamente por conducción del vidrio. En rojo podemos ver la emisión y absorción de radiación infrarroja en cada borde del vidrio en la aproximación de cuerpo negro totalmente absorbente. TR es la temperatura ambiente interior, Ti la temperatura del borde interior del vidrio, Te la temperatura del borde exterior del vidrio, TA la temperatura ambiente exterior y Tsky la temperatura característica de la radiación infrarroja incidente.

En azul tenemos la convección. Asumiremos convección forzada en el exterior debido al movimiento del aire de unos 5 m/s. En el interior del invernadero asumiremos convección libre.

Resolveremos para la condición de equilibrio, donde tiene que conservarse la energía incidente provocada por la luz solar se transmite verticalmente a través de todo el sistema. Por tanto, tenemos

Interior del invernadero:  \sigma (T_{R}^{4}-T_{i}^{4})+h_{c}(T_{i}-T_{R})^{4/3}=S

vidrio: \frac{k}{d}\: (T_{i}-T_{e})=S

Ambiente exterior: \sigma (T_{e}^{4}-T_{sky}^{4})+h_{f}(T_{e}-T_{A})=S

\sigma = 5,67\:10^{-8}\:W/m^{2}K^{4}

h_{c} =1,78\:W/m^{2}K (ref)

\frac{k}{d}=\frac{0,95 W/mK}{0,005 m} \simeq 200 W/m^{2}K  (ref)+(ref)

h_{f }= 6,13\,v^{0,8}\simeq 22 \frac{W}{m^{2}K}  (ref)

Tsky dependerá de las condiciones meteorológicas pero podemos aproximarla por la temperatura ambiental exterior al invernadero Tsky = TA = 15ºC

Para comparar con un invernadero con un material transparente al infrarrojo como la sal gema, el término radiativo será en cualquier posición

\sigma (T_{R}^{4}-T_{sky}^{4})

y el sistema de ecuaciones quedará como

Interior del invernadero:  \sigma (T_{R}^{4}-T_{sky}^{4})+h_{c}(T_{i}-T_{R})^{4/3}=S

vidrio: \sigma (T_{R}^{4}-T_{sky}^{4})+\frac{k}{d}\: (T_{i}-T_{e})=S

Ambiente exterior: \sigma (T_{R}^{4}-T_{sky}^{4})+h_{f}(T_{e}-T_{A})=S

Cambiando el valor de la conductividad

\frac{k}{d}=\frac{6 W/mK}{0,005 m} \simeq 1200 W/m^{2}K  (ref)

Utilizando el método de Newton podemos resolver en Sagemath este sistema no-lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Por ejemplo, vemos que para un flujo solar intermedio S = 250 W/m² conseguimos temperaturas de 46ºC en el interior del invernadero con vidrio comparada con unos 40ºC en el transparente al infrarrojo. Los valores resultan consistentes con los obtenidos para el calentamiento de vehículos aparcados al sol obtenidos en esta referencia.

La conclusión es que el resultado del experimento de Wood no es correcto (o al menos no es general) y, por tanto, el efecto de la radiación infrarroja en un invernadero es al menos tan relevante como el efecto de la convección.

Sin embargo, creo que la analogía con el efecto de los gei en la atmósfera sigue sin justificarse completamente. Los puntos fuertes de la analogía son:

  • Como en el vidrio de un invernadero, la atmósfera es transparente a la luz visible pero opaca al infrarrojo re-emitido por la superficie.
  • La cantidad de radiación infrarroja emitida por el vidrio hacia el exterior es menor que la que llega a éste desde el interior (efecto que no consigue compensar el aumento de la convección exterior), lo que provoca calentamiento.

Los puntos débiles de la analogía:

  • La atmósfera no puede enfriarse por convección ya que sólo puede emitir radiación al espacio exterior. De hecho, la convección se detiene básicamente en la tropopausa.
  • La absorción y emisión en la atmósfera es difusa y se produce a lo largo de todo el recorrido de la radiación hasta su emisión al espacio exterior. Esto implica, por ejemplo, que no podamos disminuir indefinidamente la cantidad de energía emitida al espacio y por tanto haya un límite a la temperatura provocada por una concentración arbitrariamente elevada de gei. Sin embargo, no hay en principio un límite a la temperatura que podríamos alcanzar en un invernadero añadiendo grueso de vidrio. Por ejemplo, con 10 m de grueso el modelo se va a más de 2500ºC. Por supuesto, en el mundo real, durante la noche no habría luz solar para continuar calentando el invernadero.
  • Como contradicción aparente con el punto anterior, la analogía del invernadero tampoco nos ayuda a entender el falso argumento de la saturación, que afirma que a partir de determinada concentración de gei ya no se producen más efectos por absorción total. La explicación de Ekholm nos ayuda a entenderlo de manera básica: mayor concentración de gei implica mayor altitud media de emisión al espacio desde una zona más fría de la atmósfera.

Mi recomendación entonces es, cuando se hace divulgación, utilizar la explicación de Ekholm, que no resulta tan complicada. La siguiente figura resulta bastante ilustrativa de lo que podría ser un resumen simple del “efecto invernadero” en la atmósfera.

co2saturationmyth_atmosphere_med

Para más detalles, ver en este blog La física del efecto invernadero

[Actualización 13/08/2018]

He encontrado uno de los pocos libros que menciona los puntos débiles de la analogía. Se trata de Understanding Weather and Climate (7th Edition) que incluye esta figura.

invernadero

pero no discute la conducción ni la convección forzada externa que contribuye al enfriamiento. Pero algo es algo.

Referencias:

El calentamiento de un invernadero y las dificultades de la física básica

Ese insignificante e incomprendido CO2

vy0o0np

La química de un vela y el descubrimiento del ciclo del carbono

En 1848, las exposiciones de ciencia recreativa hacían las delicias de un público victoriano fascinado por los avances científicos de la época. The Royal Polytechnic Institution —como se conocía en la época a la Universidad de Westminster— era famosa por sus “abominables olores” y “extrañas explosiones”. En la navidad de ese mismo año se unió a la institución el científico e inventor John Henry Pepper, que convertiría en memorables los espectáculos navideños celebrados a partir de entonces. Pepper era el análogo victoriano de nuestro Javier Panadero.

En la navidad de 1862 se representaría la quinta y última novela corta de Charles Dickens con motivo navideño, El Hechizado, utilizando una novedosa técnica de espejos inventada por Henry Dirck. Pepper escenificó así la fantasmagoría más realista de la época. Posteriormente a la primera representación, el gran Michael Faraday, que estaba allí como invitado, explicó la ciencia detrás de la ilusión de los espectros.

La novela de Dickens fue escrita en 1848 y el protagonista era un hombre versado en la química de la época. El personaje estuvo muy probablemente inspirado por una charla impartida por Faraday ese mismo año en otra institución que había inventado la divulgación de la ciencia en Navidad: la Royal Institution. Sus famosas Conferencias de Navidad para Jóvenes se venían impartiendo desde 1825, fundadas por el propio Michael Faraday.

Seguir leyendo en Naukas

Ese insignificante e incomprendido CO2

El origen del gradiente térmico de la troposfera

gradvenus

¿Por qué la temperatura de la troposfera disminuye con la altitud unos 6,5 ºC/km? Pregunta sencilla con respuesta no tan sencilla que nos llevará a algunos planetas del Sistema Solar e incluso a algún planeta imaginario.

Empecemos imaginando un planeta como la Tierra con una atmósfera de nitrógeno puro. La idea no parece en principio tan descabellada, puesto que la atmósfera de nuestro planeta contiene un 78% de N2 y en nuestro Sistema Solar tenemos un satélite (Titán) cuya atmósfera contiene un 98,4% de este gas. El nitrógeno, como sabemos, es transparente a la radiación solar y al infrarrojo emitido por la superficie terrestre, por lo que no produce ningún tipo de efecto invernadero.

Como dicha atmósfera de nitrógeno puro no emitiría ni absorbería radiación térmica (ver, sin embargo, anotación [1]), sería la superficie la encarga de radiar energía a la temperatura de equilibrio con la radiación solar, es decir, 255 K. Parecería así que la atmósfera debería tender al equilibrio isotermo, es decir, a una temperatura constante de 255 K.

La única manera que tiene la atmósfera de mover energía verticalmente en esas condiciones es mediante conducción y convección. La conducción térmica en el aire (y en el nitrógeno) es extremadamente ineficiente y una atmósfera isoterma es perfectamente estable ante movimientos convectivos.[2]

¿Qué ocurre si introducimos gases de efecto invernadero aunque sea en muy poca cantidad? En tal caso la atmósfera puede emitir/absorber radiación. Y ya sabemos que entonces entra en juego el transporte radiativo cuyo equilibrio condiciona la variación de la temperatura con la presión (altitud). El gradiente térmico estaría empujado así a adoptar la condición de equilibrio radiativo, pero la inestabilidad convectiva creada tenderá a mezclar el aire verticalmente y así amortiguar el efecto que trata de imponer el equilibrio radiativo.

radiation-sagemathcloud4

El aire cercano a la superficie tiende entonces a calentarse . El aire caliente asciende, expandiéndose y enfriándose debido a la disminución de presión con la altitud. Este movimiento de aire va enfriando el aire de las capas elevadas hasta que cesa el movimiento. Se puede calcular el gradiente de temperatura en el equilibrio de estabilidad provocado por este mecanismo, con la condición de que durante el tiempo de movimiento de la celda de aire no intercambie energía con el entorno, proceso que se conoce como adiabático.

dryadiabaticlapserate
Fuente de la imagen

Por supuesto se trata de una idealización que funciona bastante bien porque la convección es mucho más rápida que la conducción.

Veamos cómo varía la temperatura con la presión debido a este enfriamiento adiabático para aire seco. El lector menos interesado en las matemáticas, puede obviar los cálculos y quedarse con el resultado.


La primera ley de la termodinámica implica que un gas la expandirse realiza trabajo sobre el entorno (= P · dV) y disminuye su temperatura, disminuyendo su energía interna en una cantidad proporcional a la disminución de dicha temperatura (= n CV dT), de tal manera que en un proceso adiabático (donde no se intercambia calor) el  cambio de energía interna sea exactamente igual al trabajo realizado sobre el entorno

n CV dT = – P · dV    [1]

n es el número de moles y CV el calor específico molar a volumen constante. El signo negativo es coherente con el hecho del enfriamiento (dT < 0)

Considerando al aire como un gas ideal, podemos utilizar la ecuación de estado P V = n R T para sustituir en la relación anterior, después de diferenciar como P dV + V dP = n R dT

n CV dT = V dP – n R dT ⇒ V dP = n (R+CV)dT = n CP dT   [2]

con CP el calor específico molar a presión constante

Introduzcamos ahora la ecuación de equilibrio hidrostático

dP/dz = -ρ g = – μ n g / V ⇒ V dP = – μ n g dz   [3]

donde μ es el peso molecular medio en kg/mol.

Sustituyendo [3] en [2] obtenemos

n CP dT = – μ n g dz ⇒ dT/dz = – μ g/C = – g/cP

donde ahora cP es el calor específico por unidad de masa. La relación

dT/dz = – g/cP

se conoce como gradiente térmico adiabático. Vemos que el resultado es tan simple como una variación lineal de la temperatura con la altitud con una pendiente constante dada por

– g/cP

Hagamos ahora una estimación teórica del valor de esa pendiente. Para ello tenemos que recordar que, según el teorema de equipartición,  cada grado de libertad  contribuye con 1/2 k T por partícula a la energía interna de un sistema, o en términos molares 1/2 n R T. El aire está compuesto principalmente por moléculas diatómicas (N2 y O2) con tres grados de libertad de traslación (las tres direcciones del espacio), tres de rotación según tres ejes espaciales —de los que sólo dos son efectivos debido que el que pasa por el eje principal de la molécula tiene una contribución despreciable (el momento de inercia se anula)— y un modo de vibración que contribuye con dos grados de libertad debido a la parte cinética y la parte potencial de la energía asociada. En total 7 grados de libertad posibles, aunque los vibracionales son despreciables a las temperaturas y presiones habituales en las atmósfera terrestre (no así en la de Venus por ejemplo), con lo que

CV =5R/2 y CP = CV + R = 7 R/2

cP = CP / μ = 7 R/2μ = 7 · 8,31 J/(mol·K) / (2 · 28,97 g/mol) = 1003 J/(kg K)

Un precioso ejemplo de cómo la mecánica cuántica controla en última instancia un fenómeno planetario a gran escala.

Tenemos por tanto que el gradiente térmico adiabático es

dT/dz = -9,81 m/s² / 1003 J/(kg K) = -0,00978 K/m


La pendiente del gradiente térmico adiabático será de esta forma -9,78 ºC/km, bastante mayor en valor absoluto que el gradiente ambiental medio de unos 6,5 ºC/km. La razón de esta diferencia es el calor latente de condensación y los movimientos verticales a gran escala en la atmósfera.

Un razonamiento sencillo nos muestra que el gradiente de temperatura debería estar muy cerca del gradiente adiabático si pretendemos modelar una atmósfera no muy lejos de la estabilidad. Si una celda de aire que intenta ascender se encontrase siempre un entorno más frío que el suyo propio continuaría ascendiendo indefinidamente, por lo que la temperatura del entorno debe estar muy cerca del establecido por un gradiente puramente adiabático.

stable
Fuente de la imagen

¿Por qué no obtenemos la respuesta correcta entonces?

La clave está en que olvidamos que el vapor de agua forma parte del aire. Y el vapor de agua alcanza el punto de condensación cuando la celda asciende y se enfría lo suficiente, liberando calor latente. Por tanto, una celda de aire ascendente saturada de vapor de agua no se enfriará tan rápido como en el modelo de gradiente adiabático seco.

moistlapserate
Fuente de la imagen

Veamos cómo calcular el gradiente térmico adiabático de saturación. El gradiente térmico ambiental medido debería estar en algún punto intermedio puesto que las celdas de aire no están habitualmente saturadas.

El lector menos interesado puede de nuevo saltarse los cálculos y quedarse con el resultado final.


Para calcular el gradiente térmico saturado introducimos en la primera ley de la termodinámica (ec. [1]) el calor latente molar de condensación del agua. Por la condición de proceso adiabático, el intercambio de calor debe ser nulo

dQ = n CV dT + P · dV + L dn = 0

donde L es el calor latente y dn la variación de masa en unidades molares.

Si de nuevo sustituimos a partir de la ecuación de estado de los gases ideales y diferenciamos respecto a la altitud z, tenemos

n CP dT/dz +V dP/dz  + L dn/dz = 0

y de nuevo utilizando equilibrio hidrostático (ec. [3])

n CP dT/dz + L dn/dz – μ n g = 0 [4]

Podemos a continuación poner el número de moles de vapor en función de su presión parcial pH2O

n = pH2O V/RT = pH2O / p

y diferenciar como

dn/dz = 1/p dpH2O/dT dT/dz – pH2O/p² dp/dz

Podemos simplificar la última expresión utilizando la ecuación de Clausius-Clapeyron que nos proporciona la variación de la presión de vapor de saturación con la temperatura

dpH2O/dT = L pH2O/R T²

y utilizando de nuevo la relación de equilibrio hidrostático

dn/dz = L n/ R T² dT/dz – μ n g pH2O/V p²

que sustituído en ec.[4]

(CP + L² pH2O/pRT²) dT/dz = μ  g (1 + L pH2O/pRT)

y despejando

dT/dz = μ  g/CP (1 + L pH2O/pRT)/(1+ L² pH2O/pCPRT²)

que podemos poner como una corrección del gradiente adiabático

(dT/dz)Saturado = (dT/dz)Adiabático (1 + L pH2O/pRT)/(1+ L² pH2O/pCPRT²)

A temperaturas típicas del aire de la baja troposfera, tendremos una presión de saturación de vapor de agua típica de ~1/1000 de la presión atmosférica. Si utilizamos los valores estándar para las demás cantidades:

L = 2,5 10⁶ J/kg, R = 287 J/K, T ~ 273 K, Cp = 1003 J/Kg K


obtenemos un gradiente térmico de saturación típico del orden de la mitad del gradiente adiabático, unos -5 ºC/km en números redondos.

Observaciones de perfiles adiabáticos

Si nos vamos a un clima tropical húmedo, encontramos cómo efectivamente el perfil térmico tiende a seguir el gradiente de saturación. Para verlo podemos utilizar un diagrama skew-T de las mediciones en una estación tropical como la del aeropuerto de Curazao

78988 TNCC Hato Airport Curacao Sounding(1)

Vemos cómo los perfiles de temperatura y punto de rocío se aproximan uno a otro precisamente porque el gradiente térmico tiende a seguir el perfil de saturación hasta prácticamente la tropopausa a unos 200 mb.

Podemos  también comprobar también que en un clima muy seco como el del Sahara el perfil de temperaturas cercano al suelo (donde la mezcla vertical de aire es importante) debería seguir con bastante aproximación el gradiente adiabático seco.

60630 In Salah Sounding

Perfil de temperaturas en otros planetas

El descenso de la temperatura con la altitud en la troposfera es una característica general de las atmósferas planetarias[3].

AllPlanetsT
Fuente de la imagen

Atmósferas sin apenas vapor de agua (u otros gases condensables) como las atmósferas de Venus y Marte podrían ser buenas candidatas a comprobar la utilizad del gradiente adiabático seco, calculado a continuación para los tres planetas

Gas M

kg/ mol

cp

J kg-1 K-1

g

m s-2

-dT/dz

K / km

Venus CO2 44 x 0.001 1134 (730 K) 8.87 7,8
Earth O2 , N2 29 x 0.001 1003 (300 K) 9.81 9.8
Mars CO2 44 x 0.001   850 (230 K) 3.71 4.4

Observamos cómo los perfiles difieren considerablemente.

EVMgreenhouse
Fuente de la imagen

Marte y Venus tienen atmósferas compuestas básicamente de CO2 (>95%). Venus tiene una troposfera enorme, de unos 50 km de altitud, según las mediciones de la sonda rusa Venera y la estadounidense Pioneer Venus. Por debajo de los 23 km aproximadamente, el perfil de temperaturas en un gradiente adiabático de unos 8 K/km en buena concordancia con lo esperado para los cálculos refinados para un gas real triatómico de unos 8,08 K/km. El perfil es con buena aproximación adiabático en toda la troposfera con algunas desviaciones subadiabáticas debidas a la presencia de nubes que dificultan el enfriamiento de la parte alta.

venusatmosphere
Fuente de la imagen

Si nos fijamos en la posición de las famosas nubes sulfúricas de Venus, la presión y temperaturas a unos 50 km son similares a las que encontramos en la Tierra. Eso ha llevado a algunos autores a especular sobre su propiedad para la colonización humana.

Veamos cómo podemos hacer una estimación básica del tamaño de la troposfera a partir del gradiente térmico adiabático calculado anteriormente.

La temperatura de equilibrio de Venus a la distancia a la que se encuentra según su albedo,  puede calcularse a partir de la de la Tierra recordando que el flujo solar medio recibido en la superficie a 1 u.a. para un planeta de albedo a

S1ua = 1/4 × 1361 (1-a) = 340 (1-a) W/m²

Como Venus se encuentra a 0,72 u.a y tiene un albedo de 0,65

SVenus = 340 W/m² × (1-0,65) × (0,72)⁻² = 230 W/m²

T_{e}=\sqrt[4]{\frac{230}{5,67\times 10^{-8}}}=252 K

Con ese dato podemos relacionar la temperatura de la superficie y la escala de la troposphera ze (en realidad la altura efectiva de emisión)

TS – 252 K = 8 K/km × ze

Para una temperatura superficial de 740 K medida in situ por las sondas Venera, tenemos una escala de la troposfera de unos 60 km.

La razón de una troposfera tan elevada en Venus es por supuesto la enorme opacidad al infrarrojo al CO2 que calienta una densa atmósfera provocando movimientos convectivos hasta gran altitud que tienden rápidamente a la estabilidad adiabática. Recordemos que la opacidad de atmósfera de la Tierra es del orden de la unidad, mientras que la de Venus sería

( τs+1) = (740K/252 K)⁴ ~ 74

La atmósfera de Marte es muy diferente a la de Venus. De una densidad bajísima alcanzando sólo unos 6 mb de presión en su superficie. Sin embargo, el levantamiento de polvo de silicatos provocado por el viento marciano provoca un calentamiento extra de la troposfera que la convierte en subadiabática y por tanto con gran estabilidad. Sin embargo, las variaciones de temperatura a lo largo del día marciano (max 238K, mín 190 K medidos por Viking por ejemplo) provocan una convección a mediodía que puede llegar a unos 30 km de altitud hasta la desaparición de la troposfera al final de la noche donde el enfriamiento radiativo provoca una inversión del gradiente térmico.

marsbl
Fuente de la imagen: Petrosyan, A., et al. (2011), The Martian atmospheric boundary layer, Rev. Geophys., 49, RG3005, doi:10.1029/2010RG000351.

En la figura podemos ver  la inversión térmica durante la noche marciana (azul) y cómo en las horas de mediodía (rojo) se establece una fuerte convección hasta cerca de los 10 km de altitud donde se crea un régimen adiabático seco bien ajustado por la expectación teórica de 4,4 K/km (línea discontinua).

También en Júpiter podemos encontrar un ejemplo observacional de gradiente térmico adiabático seco de 1,8 K/km medido por Galileo para presiones de 1 a 22 bar, el límite de presión de los datos obtenidos por la sonda. La temperatura a 1 bar es de 165 K

jupiterlapserate
Fuente de la imagen

1,8 K/km es exactamente el gradiante adiabático esperable para gas hidrógeno (cp = 14320 J/kgK) y una aceleración de la gravedad g = 26 m/s², lo que indica la escasa presencia de agua en esa zona de la atmósfera.

Conclusión

Esta entrada nos puede servir para entender cómo una propiedad aparentemente tan sencilla como el gradiente térmico de una atmósfera planetaria es en última instancia resultado de la interacción entre la gravedad del planeta y la composición química de su atmósfera, tanto por sus propiedades radiativas como en ultimo término  por sus propiedades cuánticas.


Referencias

Atmospheric Lapse Rate. Citizendium

Eugene F. Milone,William J.F. Wilson. Solar System Astrophysics: Planetary Atmospheres and the Outer Solar System. Springer 2014.

James R. Holton, Judith A. Curry. Encyclopedia of Atmospheric Sciences

Lapse Rate. Wikipedia.

Mikhail I͡Akovlevich Marov,David Harry. The Planet Venus. Yale 1998.

Petrosyan, A., et al. (2011), The Martian atmospheric boundary layer, Rev. Geophys., 49, RG3005, doi:10.1029/2010RG000351

Temperature Profile in the Atmosphere – The Lapse Rate. Science of Doom.

Zasova, L.V., Moroz, V.I., Linkin, V.M. et al. Structure of the Venusian Atmosphere from Surface up to 100 km, Cosmic Res (2006) 44: 364. doi:10.1134/S0010952506040095.


[1] La colisión de moléculas de N2 puede producir absorción/emisión en el infrarrojo por lo que ni siquiera nuestro planeta imaginario estaría totalmente libre de efecto invernadero. Regresar al texto

[2]En una atmósfera de nitrógeno puro sin gei, el calentamiento solar de la superficie puede producir inestabilidad en el aire cercano por conducción, lo que hace que el equilibrio termodinámico isotermo se vea roto en favor de la estabilidad convectiva dada por la condición adiabática. Este punto ha sido objeto de un largo e interesante debate histórico sobre la condición de equilibrio de una atmósfera ideal entre los “defensores” de una atmósfera isoterma y los “defensores” de la condición adiabática. La primera es fruto de la condición de máxima entropía en una atmósfera que no intercambia energía, pero lo cierto es que cualquier atmósfera planetaria, por muy idealizada que uno la represente, intercambia energía con la estrella del sistema planetario y es básicamente imposible que no actúen procesos disipativos que tienden a mover energía en dicha atmósfera. El asunto no está del todo cerrado. Una discusión tremendamente interesante de los aspectos históricos y técnicos de este debate puede encontrarse en

Y una propuesta reciente, en base a resultados numéricos en:

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[3] T. D. Robinson & D. C. Catling publicaron recientemente una nota breve en Nature con una posible explicación a la regularidad de la presión característica de la tropopausas de planetas con atmósferas densas de unos 100 mb.
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El origen del gradiente térmico de la troposfera

Climas posibles de Próxima b

Es una de las noticias científicas del año: el descubierto de un planeta rocoso de una masa parecida a la Tierra que  orbita Próxima Centauri a 7,5 millones de kilómetros, con un periodo de traslación  de unos 11 días. Al tratarse de una enana roja (0,14 radios solares) de tipo espectral M, mucho más fría (3050 K) que el Sol, a esa distancia el planeta se encuentra dentro de la denominada zona de habitabilidad, donde es posible la existencia de agua líquida.

proximab

Daniel Marín en su blog Eureka ha hecho un fantástico seguimiento de la noticia y Francis Villatoro tiene una magnífica entrada sobre los posibles climas en base a modelos de circulación general. Así,  el objetivo de esta entrada será estudiar algunas características de los posibles climas del planeta en base a modelos sencillos de equilibrio radiativo —que ya hemos desarrollado en este blog— y utilizarlos como otro ejemplo más de la potencia de estos modelos para ciertos argumentos de tipo general.

proximabartistico

Próxima b es un planeta en rotación síncrona, de tal manera que, como sucede con La Luna y la Tierra, presenta la misma cara a su estrella. Eso crea un punto (conocido como subestelar) donde la estrella se encuentra en el zenit de manera perpetua. La presencia de GEI podría provocar un efecto invernadero desbocado tipo Venus.  Por contra, en el hemisferio opuesto, eternamente a oscuras, se alcanzarán temperaturas tan bajas que cualquier atmósfera tenderá al colapso por congelación de los gases que la forman, un fenómeno observado recientemente en Io tras los eclipses de Júpiter. Los modelos con transporte de calor indican que este colapso puede evitarse para atmósferas más densas de unos 100 mb. El trasporte de calor también podría evitar el efecto invernadero desbocado en el punto subestelar.

Otro problema más difícil de estudiar es la tendencia de planetas en la zona habitable de enanas rojas a un contenido inicial muy modesto de gases que podrían formar la atmósfera y el posible barrido de una atmósfera delgada por las fulguraciones de una estrella cuyas emisiones de rayos X y UV son unas 60 veces mayores que su luminosidad total integrada.

Dos ventajas con la que cuenta Próxima b respecto a La Tierra son:

  1. El pico de luminosidad de su estrella (desplazado al rojo) evita el efecto de retroalimentación debido al albedo del hielo que se pudiese formar en sus superficie, de color oscuro a esas longitudes de onda.
  2. La dispersión atmosférica, que provoca cierto enfriamiento, es mucho menos significativa debido de nuevo a que a la longitud de onda pico de emisión de la estrella hace el proceso de dispersión de Rayleigh mucho menos eficientes (recuerde el lector la explicación del color azul del cielo en nuestro planeta)

Modelo de equilibrio radiativo sin atmósfera

Veamos en primer lugar lo que podemos aprender del modelo más simple posible en climatología siguiendo a Goldblatt 2016. En la figura podemos ver (líneas continuas) los flujos y temperaturas para un modelo sin atmósfera con un 65% de la constante solar (flujo estimado recibido en Próxima b de su estrella) y tres tipos de albedo: tipo Luna (roca desnuda), tipo Tierra y tipo aquaplanet. Como comparación (líneas discontinuas) el caso de recepción de un flujo igual a la constante solar. [Pinchando en la imagen podemos acceder a la hoja Sagemath con el código del modelo para generar este tipo de gráficos]

Editar entrada ‹ La ciencia de Svante Arrhenius — WordPress.com(1)

Las línea horizontales representan límites de interés. La línea roja continua indica flujo estelar y temperatura a partir de la que puede producirse un efecto invernadero desbocado si no existiese transporte de energía. La línea verde discontinua es la insolación media en el ecuador terrestre y la línea discontinua azul el punto triple del agua.

Lo primero que debería llamar la atención al lector es que la temperatura del hemisferio oscuro no esté próxima al cero absoluto. La razón es que Goldblatt 2016 han considerado el flujo de radiación procedente del interior del planeta con un valor intermedio entre el de La Tierra (dominado por desintegración radiactiva) y el de Io (dominado por calentamiento de mareas) de 0.2 W/m²

La segunda observación interesante es que existe una ventana bastante amplia del hemisferio iluminado donde existe la posibilidad de agua líquida (he seleccionado una atmósfera de unos 100 mb como umbral inferior no demasiado optimista). Para atmósferas más gruesas esa ventana es incluso algo más amplia.

En tercer lugar podemos ver que el flujo estelar en Próxima B cerca del punto subestelar puede compensarse con una atmósfera delgada mejor que lo haría en las condiciones de nuestro planeta Tierra con objeto de evitar un efecto invernadero desbocado.

Modelo de dos cajas de atmósfera gris con transporte

Vamos a utilizar ahora un modelo de atmósfera gris de una capa con una ligera variación para hacerlo interesante y aprender algo nuevo; Se trata de permitir transporte de calor. Con objeto de simplificar el modelo se suelen utilizar las denominadas cajas, zonas climáticas con distintas propiedades. Por ejemplo, en el caso de Próxima b, el modelo natural de dos cajas representaría al hemisferio iluminado y al oscuro a distintas temperaturas intercambiando calor, según la diferencia de temperaturas existente, hasta restablecer el equilibrio.

En la figura a continuación podemos ver todos los flujos de energía para ambos hemisferios planetarios.

twoboxes(2)Las condiciones de equilibrio serian:

Superficie zona iluminada:  \sigma T_{ls}^{4}=(1-\alpha)\frac{S}{2}+\epsilon_{l} \sigma T_{la}^{4}+F_{g}

Atmósfera zona iluminada: 2 \epsilon_{l} \sigma T_{la}^{4}=\epsilon_{l} \sigma T_{ls}^{4}-A(T_{la}-T_{da})

Superficie zona oscura: \sigma T_{ds}^{4}=\epsilon_{d} \sigma T_{da}^{4}+F_{g}

Atmósfera zona oscura: 2 \epsilon_{d} \sigma T_{da}^{4}=\epsilon_{d} \sigma T_{ds}^{4}+A(T_{la}-T_{da})

A se conoce como parámetro de advección, palabreja técnica que significa básicamente transporte. El parámetro de advección depende de la presión superficial, la capacidad calorífica de los gases que forman la atmósfera, la aceleración de la gravedad y del tiempo característico de transporte, dada básicamente por la escala planetaria y la velocidad de los vientos. Al ser un parámetro muy difícil de estimar, suele utilizarse un polémico principio de maximización de entropía para su cálculo. Nosotros lo que haremos es representar los valores de equilibrio de las temperaturas de ambos hemisferio para un rango muy amplio de valores de este parámetro y ver lo que podemos aprender. El valor de referencia para La Tierra está en torno a 10 W/m² K.

Hemos utilizado la luminosidad en Próxima b (un 65% de la solar), un albedo  una emisividad tipo la Tierra. El lector tiene disponible la hoja Sagemath con el modelo.

 

clima   SageMathCloud

El comportamiento es el esperado intuitivamente. A medida que aumenta el transporte de calor, las temperatura de la atmósfera tiende a igualarse en ambos hemisferios. En la gráfica anterior se han representado las temperaturas para A = 0, equivalentes a las temperaturas de equilibrio de ambos hemisferios cuando no existe intercambio de calor.

Hagamos una ampliación para advecciones muy pequeñas.

clima   SageMathCloud(1)

Vemos cómo con un transporte un orden de magnitud por debajo del terrestre podría ser suficiente para evitar el colapso de la atmósfera en el lado oscuro, ya que la mayoría de gases atmosféricos típicos (hidrógeno, nitrógeno, metano, etc) tienen puntos críticos bien por debajo de los 150 K, situación que todavía es más favorable si bajamos la emisividad del hemisferio oscuro a valores de atmósferas frías y secas, tal y como sucede en los polos terrestres

clima   SageMathCloud(2)

Conclusión

La intención principal de esta entrada era mostrar a los lectores cómo los modelos elementales de equilibrio radiativo  pueden enseñarnos cosas interesantes. Hemos elegido para la ocasión el reciente y extraordinario descubrimiento de un exoplaneta de tipo terrestre que gira en torno a Próxima Centauri, donde estos sencillos modelos nos han permitido establecer que incluso una atmósfera delgada  (>~100 mb) permitiría la existencia de agua líquida y que con un transporte modesto  se evitaría el colapso de la atmósfera.

Goldblatt 2016 va un poco más allá y modifica el modelo de dos cajas añadiendo una parametrización que simula el cálculo de transporte radiativo del efecto del vapor de agua en la atmósfera, extremadamente importante para estudiar las condiciones  de disparo de un efecto invernadero desbocado. Pero eso lo tendremos que dejar para más adelante.

¡Bienvenidos a la climatología planetaria!

Referencias

 

Climas posibles de Próxima b

Modelos de equilibrio radiativo

Los modelos tienen muy mala fama, sobre todo en climatología. De hecho se utilizan todo el tiempo como un argumento del tipo “no podemos saberlo”. Es un argumento falaz, porque siendo cierto que los modelos no reproducen fielmente el mundo real, sí que pueden reproducir características de éste que nos ayudan a comprenderlo mejor. Y los modelos son muy útiles para ver aspectos que no son fáciles de intuir con el comportamiento del sistema real.

Otro de los argumentos que suelo oír por ahí es que uno sólo puede sacar de un modelo lo que pone en él. En un sentido trivial es cierto; Uno no puede por ejemplo esperar que un modelo describa los movimientos convectivos sin en primer lugar no implementa la posibilidad de movimientos verticales de celdas de aire. Pero eso no significa que un modelo no pueda producir resultados útiles —e incluso inesperados— como consecuencias de la interacción entre sus elementos. De hecho, si somos de los que creemos que el mundo funciona según las leyes de la física, eso es justo lo que sucede en el mundo real: a partir de leyes sencillas y la interacción de muchos elementos aparecen comportamiento complejos no implementados en ellas.

Cuando uno empieza a mirar artículos y libros de texto sobre la estructura de la atmósfera, tiene la sensación de que se abusa del modelo de capas de atmósfera gris. Todo el mundo —incluido un servidor— lo utiliza  porque es sencillo. Pero no sólo por eso. Los modelos sencillos nos permiten entender los aspectos básicos y pueden proporcionar las pistas para hacer descubrimientos.

En 1960, Carl Sagan propuso que la elevada temperatura de la superficie de Venus era consecuencias de la existencia de una atmósfera muy opaca debido a los gases de efecto invernadero como el CO2. Carl Sagan utilizó un modelo de equilibrio radiativo elemental de atmósfera gris para elaborar su hipótesis, validada después por los datos.

En esta entrada intentaremos implementar un algoritmo para un modelo multicapa discreto dividiendo la atmósfera en un numero arbitrariamente de capas. La idea es intentar deducir perfiles de temperatura a partir de condiciones de equilibrio radiativo además de la variación del perfil de temperatura al cambiar las propiedades ópticas de la atmósfera, como ocurre al añadir GEI. Veremos también cómo convertir el modelo en continuo.

Algoritmo para un modelo multicapa de atmósfera gris

Vamos a plantear un modelo de equilibrio radiativo tomando como única condición que el el flujo de radiación térmica emitida por la última capa al espacio sea igual al flujo de radiación solar entrante, es decir unos ~240 W/m². Para ello vamos a considera las siguientes cantidades representadas en la figura

multicapa(1)

Nuestro modelo de atmósfera cuenta con n capas caracterizadas por una emisividad ε y una temperatura T. Cada capa por supuesto emite como un cuerpo gris con una densidad de flujo caracterizado por F(i)=ε σ Ti, donde  i es el número de capa.

El flujo total que llega a la capa i desde capas inferiores de la atmósfera está etiquetado como F(i) al igual que el flujo total descendente desde capas superiores está etiquetado como F(i)

El algoritmo va calculando de arriba a abajo todos esos flujos, partiendo de la condición que el flujo total que se emite al espacio a partir de la capa superior sea igual al flujo entrante solar, es decir, unos 240 W/m².

Apliquemos ahora las condiciones de equilibrio y conservación oportunas fijándonos en la capa (n-1) de la figura y generalizando para cualquier capa i

Cada capa absorbe una proporción ε del flujo y transmite una cantidad (1-ε) de éste.

Conservación flujo ascendente y descendente:

F(i+1) = (1-ε) F(i) + F(i+1)   [1a]

F(i) = (1-ε) F(i+1) + F(i+1)   [1b]

Condición de equilibrio radiativo:

ε F(i) + ε F(i+1) = 2 F(i+1)   [2]

Veamos cómo desarrollar el algoritmo. La idea es poner la capa inferior i en función de la capa superior i+1, puesto que conocemos los flujos ascendente y descendente de la capa superior y,  a partir de ella, ir calculando hacia las capas inferiores

La relación [1b] ya está en su forma adecuada para empezar calculando el flujo descendente hacia la capa anterior. Utilizando las ecuaciones [1a] y [2] podemos poner de nuevo el flujo ascendente de la capa inferior en función de los flujos de la superior de tal manera que nos queda:

F(i) = (1-ε) F(i+1) + F(i+1)
F(i) = [2 F(i+1)-ε F(i+1)] / (2-ε)

En la figura a continuación podemos ver el código python implementado en SAGE, al que se pude  acceder pinchando en la imagen.
sagesimplegrayatm

Vemos la representación de la temperatura con la altitud en rojo para el modelo comparado con el gradiente térmico medido en la troposfera de -6.5ºC/km representado en azul.

radiation   SageMathCloud

He reproducido los parámetros que parecen ajustar mejor una temperatura de superficie de 15ºC (288K). Para ello he escalado la emisividad de cada capa según el número de capas utilizado (mayor número de capas, menor emisividad/absortividad por capa) de tal manera que la “cantidad” de atmósfera permanece esencialmente fijada en el modelo.La variable sumepsilon nos da una idea de la “absorción total” de la atmósfera, que no depende del número de capas utilizado. El hecho de que sea mayor que uno debería mantenernos en alerta de no pensarla como una emisividad/absortividad  hasta entender su verdadero significado, lo que haremos más abajo.

La altitud es meramente orientativa, simplemente para situar la lector. Lo cierto es que ese hecho hace que la comparación con el gradiente térmico medido pueda resultar engañosa, así que no se debe utilizar más allás de esa función orientativa.

Como podemos ver, el modelo fracasa estrepitosamente para la troposfera básicamente porque el transporte que energía en esta capa está dominado por convección. Algo que ya sabíamos.

¿Qué podemos aprender de un modelo fallido tan simplificado?

1. La temperatura de la última capa tiende a 214K, la temperatura  “de piel” (skin) de Gold-Humphreys para la estratosfera, que veíamos en la entrada anterior. Lo que tiene todo el sentido: en lo alto de la atmósfera las últimas capas puede entenderse como en equilibrio radiativo con las capas inferiores, que contribuyen a la mayoría del flujo de radiación, con lo que se aplica la misma condición en la deducción para la temperatura de la estratosfera.

2. La dependencia de la temperatura superficial con la “absorción total”de la atmósfera (sumepsilon en el código) es una primera aproximación a la implementación del efecto invernadero amplificado por GEI.

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Vemos que el aumento de la emisividad es del mismo orden que habíamos estimado en el modelo básico de una capa.

3. Parece que no hemos aprendido nada esencialmente nuevo respecto al modelo de una capa, pero ahora empieza lo interesante. Si pensamos un poco en conservación de la energía, una condición para que no se cree ni se destruya energía en cada capa implica que el flujo neto ascendente F(i) F(i) sea idéntico al flujo solar descendente

F(i) F(i) = S ~ 240 W/m²

Este hecho nos proporciona una pista de cómo introducir algún tipo de calentamiento local del tipo que produce la absorción de ozono en la estratosfera, de tal forma que si introducimos una dependencia de la emisividad con la altitud podemos observar la variación del flujo neto ascendente. El lector puede imprimir por pantalla el resultado del flujo neto variando la dependencia de la emisividad con la altura, por ejemplo haciendo dicha variación proporcional al número de capa como prueba y comprobar este hecho.

4. Las relaciones [1a] y [1b] se parecen sospechosamente a las ecuaciones de Schwarzchild en la aproximación de dos flujos proporcionadas en todo los textos estándar sobre transferencia radiativa.

dF/dτ = F – B(T)

dF/dτ = -F + B(T)

donde τ es la profundidad óptica y B(T) es la emisión térmica característica de un cuerpo negro cuya densidad de flujo hemos utilizado todo el tiempo como σ T⁴.

La profundidad óptica (a veces denominada también grosor óptico) está relacionada con la transmitancia . Es una magnitud definida a partir de la Ley de Beer-Lambert como la relación entre el cambio de intensidad y la intensidad inicial de la radiación que atraviesa un determinado grueso de material, provocando una atenuación exponencial, de tal manera, que podemos poner la transmitancia como

t = e-τ  ⇒  ε = 1-t = 1-e

Esta relación implica que la emisividad no es una cantidad independiente, sino que depende de la profundidad óptica de la atmósfera. En nuestro modelo, esta profundidad óptica está fijada por el parámetro sumepsilon que a su vez determina la emisividad de cada capa (ver más abajo).

Nos hemos metido así de lleno y casi sin pretenderlo en la teoría de transporte radiativo en las atmósferas planetarias, una disciplina realmente confusa en su terminología y que se remonta a los trabajo de  Arthur Schuster y Karl Schwarzschild de mediados de la primera década del siglo XX sobre la atmósfera solar. Schuster fue probablemente el primero en utilizar la aproximación de dos flujos en su artículo de 1905.

Para algunas personas (entre las que me incluyo) es más intuitivo partir de un modelo sencillo como el planteado para trabajar posteriormente con la teoría  en su formulación dada en todos los libros de texto, mucho más abstracta.

Solución analítica para el perfil de temperaturas en una atmósfera gris en equilibrio radiativo puro

Condición de equilibro térmico: no hay creación local de flujo, lo que se traduce en la constancia del flujo neto que habíamos visto anteriormente.

dFnet/dz = 0dFnet/dτ =0 ⇒ Fnet = F F(i) = cte = F0 ~ 240 W/m²

donde cambiamos la notación de F0 en lugar de S para el flujo neto en lo alto de la atmósfera (τ →0). dFnet/dz es la variación del flujo neto con la altitud. Del hecho de que la profundidad óptica sea una función de la altitud, se sigue la relación anterior

Podemos combinar las dos ecuaciones de Schwarzchild, restándola y sumándolas para obtener respectivamente el flujo neto y el flujo total, de la siguiente manera

d(F-F)/dτ = F+F– 2B(T) ⇒ dFnet/dτ = Ftot – 2B(T) = 0 ⇒ Ftot = 2 σ T⁴

d(F+F)/dτ = F+F= S ⇒ dFtot/dτ = Fnet = F0

La segunda ecuación puede integrarse de manera muy sencilla como

Ftot =F0 τ +cte  ⇒ Ftot =F0 (τ+1)

donde hemos aplicado la condición de que el flujo total en lo alto de la atmósfera (τ →0) sea igual a F0

Utilizando la relación entre temperatura y flujo total, obtenemos la solución para el perfil de temperatura en función de la profundidad óptica.

Ftot = 2 σ T⁴ = F0 (τ+1) ⇒ T⁴ = (F0 /2 σ) ( τ+1) = ( τ+1) (214 K)⁴

Para la temperatura de superficie de 288 K, tenemos que

( τs+1) = (288K/214 K)⁴ = 3.28 ⇒ τs ~ 2.3

una cantidad que nos debería sonar. Se trata nada más y nada menos que nuestra “absorción total” del modelo (nuestro sumepsilon en el código) que habíamos determinado simplemente como cantidad que mejor ajustaba la temperatura superficial.

Para hacer compatible nuestra solución numérica con esta solución analítica, tenemos que representar la variación de τ con la altitud como

τ / τs = 1 – z/H

donde H es la escala arbitraria de la troposfera que nosotros habíamos elegido como 12 km a efectos de visualización orientativa.

Problemas con el modelo

1. El primer problema grave de nuestro modelo es que la temperatura del suelo presenta una discontinuidad respecto a la temperatura de la atmósfera calculada al nivel de superficie. La superficie emite como un cuerpo negro con un flujo ascendente dado por

Fs =(Ftot +Fnet)/2 = F0 s +2)/2 = 2.15 F0 ⇒ Ts = (2.15 F0 /σ)1/4

= (2.15)1/4 Teff = (2.15)1/4 255 K ~ 308 K

Lo que implica una discontinuidad entre la temperatura superficial y las primeras capas de la atmósfera que obviamente no ocurre en el mundo real y que no fue representada en nuestro modelo numérico.

2. El gradiente térmico implica que la temperatura efectiva de emisión, es decir, aquella capa de la atmósfera que emite a 255 K y cuya emisión equivale al flujo solar entrante, se encuentra a una altitud de

heff = (255K-288K)/(-6.5 K/km) ~ 5 km

en nuestro modelo, tenemos que la profundidad óptica efectiva es de

( τeff+1) = (255K/214 K)⁴ ~ 2 ⇒τeff ~ 1

equivalente a un altitud de

heff = H (1 – τ / τs ) = 12 km (1-1/2.3) ~ 6.8 km

mucho más elevado que en la troposfera real. Podríamos por supuesto reajustar la altitud en el modelo para que la altitud efectiva coincidiese con el valor real a algo menos de unos 9 km.

3. Al representar la altitud en nuestro modelo estamos asumiendo que la profundidad óptica disminuye linealmente con la altitud. Lo cierto es que tiene mucho más sentido que lo haga con la presión que a su vez depende de la densidad. Es típico en los libros de texto (por ejemplo Andrews 2010 y Salby 2012 en las referencias) asumir una variación exponencial de la profundidad óptica con la altitud.

τ = τs exp(-z/H)

Lo que nos lleva a las curvas típicas que vemos en la bibliografía de equilibrio radiativo (curva verde en el siguiente gráfico)

radiation   SageMathCloud(3)

Un ejemplo es que podemos ver en la fig. 8.21 de Salby 2012

salby

Eso además implica que sea mucho más frecuente representar el perfil de temperatura en función de la presión y no de la altitud.

4. Salby 2012 menciona una profundidad óptica típica en la superficie terrestre de 4. Nuestro modelo con τs =2.3  falla también ahí. Y falla más de lo que parece. En lo que se denomina la aproximación difusa, se utiliza un flujo vertical de radiación que tiene que contar el hecho de que la radiación incide con diferentes ángulos. Se suele utilizar una factor de peso de entre 1.5 y 2 (habitualmente 1.66) para calibrar la profundidad óptica, lo que significa que todas las profundidades ópticas calculadas anteriormente habría que dividirlas por 1.66 para tener los valores de las profundidades ópticas sin calibrar, lo que significa que la de nuestro modelo es τs =2.3/1.66 ~ 1.4

A modo de resumen

Hemos aprendido a formular un modelo de equilibrio radiativo multicapa continuo que nos ha permitido calcular un perfil de temperaturas (poco realista) para la atmósfera, tanto numéricamente como analíticamente. De paso hemos introducido varios conceptos fundamentales del transporte radiativo en las atmósferas planetarias:

  1. La ley de Beer-Lambert que nos ha permitido definir una cantidad fundamental como la profundidad óptica.
  2. Las ecuaciones de Schwarzchild en la aproximación de dos flujos en una atmósfera plano-pararela.
  3. La dependencia de la temperatura superficial con la profundidad óptica de la atmósfera.
  4. La relevancia de considerar τeff ~ 1 para establecer la altitud efectiva de emisión y definir atmósferas con τ << 1 como ópticamente delgadas y con τ > 1 como ópticamente gruesas.

El próximo paso será crear un modelo de equilibrio convectivo-radiativo para mejorar los perfiles de temperatura de la troposfera-tropopausa. La idea es avanzar en la línea de Robinson-Catling 2012.

[Actualización del 6/10/2018] Publicada entrada con el modelo formalizado a partir de las definiciones básicas de transferencia radiativa en la atmósfera.

Referencias


Modelos de equilibrio radiativo