Formalizando un modelo radiativo de atmósfera planetaria

Hasta ahora hemos utilizado muchos conceptos de transferencia radiativa en la atmósfera de manera algo laxa con el objetivo de centrarnos en las propiedades de la atmósfera más en que en la formalización de los conceptos. Pero hay un determinado momento en que esa ausencia de formalización puede llevar a cierta confusión, como nos ha sucedido de hecho con los conceptos de opacidad y grosor óptico.

Hagamos entonces el trabajo algo más árido de las definiciones concretas.

Equilibrio hidrostático

La condición de equilibrio hidrostático relaciona, como ya sabemos, la variación de la presión con la altitud en función de la densidad ρ del gas de la atmósfera y la aceleración de la gravedad g del planeta en cuestión

dP/dz = – ρ g

Escala de la atmósfera

Si introducimos la ecuación de estado de los gases de la atmósfera con la aproximación de gas ideal,

 P  =   ρ/μ RT

donde μ es el peso molecular medio, T la temperatura y R la constante de los gases ideales, obtendremos una nueva expresión de la ecuación de equilibrio hidrostático

dP/dz = -gμ P/RT

donde podemos definir una cantidad con dimensiones de longitud

H =  RT/gμ

a la que se suele denominar escala de la atmósfera, de tal manera que podemos escribir la relación anterior en función de la escala como

dP/dz = – P/H

Puesto que la presión varía de manera exponencial, mientras que la temperatura lo hace linealmente, podemos aproximar una solución isoterma de la variación de la presión con la altitud como

P = P(z=0) exp (-z/H)

En el gráfico a continuación podemos ver la diferencia entre la variación de la presión con la altitud en la aproximación isoterma (rojo) y considerando el gradiente térmico de la troposfera (-6.5ºC/km). Se aprecia que en la troposfera se corresponde con una aproximación excelente.

atmos
Fuente de la imagen.

Para una temperatura superficial media de unos 15ºC (288 K) y una masa media molecular de 0,78 × 28 + 0,21 × 32 + 0,01 × 40 ≈ 29 g/mol (78% N2, 21%O2 y 1% Ar)

H =8.31 J⋅mol⁻¹⋅K⁻¹ 288K/(9,81 m s⁻² 0,029 kg mol⁻¹) ∼ 8400 m = 8,4 km

una altitud típica (muy próxima a la cima del Everest) donde la mayoría del peso (1-1/e = 0,63) de la atmósfera se encuentra por debajo, asumiendo de nuevo una disminución exponencial de la presión (densidad) con la altitud.

hght2
Fuente de la imagen

El supuesto de variación exponencial de la presión con la altitud puede no ser una buena aproximación en algunas atmósferas como la de Plutón, donde las fuertes variaciones de la temperatura con la altitud cambia a su vez la escala de la atmósfera, que puede pasar de unos 20 km en las capas bajas a unos 60 km en altitudes entre los 30 y los 100 km.

Opacidad y grosor óptico

Cuando miramos un objeto situado a una distancia d a través de la niebla , podemos definir el grosor óptico τ del medio de opacidad k, atravesado por la luz proceden del objeto, como

τ = k d

En un medio de mayor opacidad (por ejemplo cuando hay más niebla en la línea de visión), el grosor óptico será mayor en proporción a las opacidades del medio.

Captura de pantalla de 2018 09 23 18 16 33

Por supuesto, la opacidad (y por tanto el grosor óptico) dependerá de las propiedades de absorción del medio que varían con la longitud de onda λ de la radiación, por lo que sería más apropiado expresar la anterior relación como

τλ = kλ d

haciendo explícita esta dependencia. La aproximación gris consiste precisamente en obviar dicha dependencia de la longitud de onda.

Seguimos por supuesto sin definir opacidad, pero entenderemos su significado más abajo en función de la atenuación de la intensidad de la radiación al atravesar un medio material.

Camino libre medio de los fotones

Un fotón de radiación infrarroja que atraviesa la atmósfera se encontrará con un medio de moléculas absorbentes como el CO2

crosssection

Al recorre una distancia L podrá ser absorbido por cualquiera de las moléculas con las que se encuentra (en verde en la imagen). Para una densidad de partículas N por unidad de volumen, el número de colisiones puede calcularse como

N π r² L

donde σ = π r² es lo que suele denominarse sección eficaz y nos da una idea de la superficie efectiva de interacción.

La opacidad es precisamente el número de colisiones por unidad de longitud, por lo que podemos poner

kλ = N σλ

haciendo explícita de nuevo la dependencia de la longitud de onda.

Otra cantidad interesante es el camino libre medio lλ , es decir, la distancia que puede viajar el fotón en promedio antes de ser absorbido por el medio. Podemos calcularlo como la distancia recorrida dividida entre el número de colisiones producido en el recorrido, es decir,

lλ = L/(N σλ L) = 1/(N σλ) = 1/kλ

Es decir, el camino libre medio no es más que el inverso de la opacidad.

Si ahora calculamos el grosor óptico  para el recorrido libre medio del fotón, obtenemos un resultado importante

τλ = kλ lλ = kλ  1/kλ = 1

con lo que ahora entendemos perfectamente el significado de un grosor óptico igual a la unidad.

Cuando miramos la atmósfera desde arriba, los fotones infrarrojos que estamos viendo proceden en promedio de una altitud con τλ= 1, un resultado que ya habíamos utilizado previamente en varias ocasiones.

Ecuación de transferencia radiativa (Ecuación de Schwarzchild)

Cuando la radiación atraviesa la atmósfera en una dirección arbitraria, el principio de conservación de la energía nos obliga a establecer que el cambio de intensidad dIλ debe ser igual a la radiación emitida en el recorrido jλ ds menos la radiación absorbida kλ Iλ ds

Captura de pantalla de 2018-09-23 19-58-28

Podemos introducir el grosor óptico durante el recorrido diferencial ds como

λ = -kλ  ds

donde el signo menos se introduce para indicar que el grosor óptico aumenta con la profundidad en la atmósfera, por lo que el movimiento de la radiación en altitud implica una disminución de esta cantidad. De esa forma, el grosor óptico será máximo en la superficie y cero a una altitud arbitrariamente elevada.

La ecuación de transferencia radiativa queda entonces como

dIλ = -(jλ/kλ – Iλ) (-kλ ds) = (Iλ – Sλ) dτλ

o escrita de otra manera,

dIλ/λ= Iλ – Sλ

A la cantidad Sλ = jλ/kλ se le suele denominar función fuente.

Ley de Beer-Lambert

En el caso de que no hay emisión, sólo absorción, la ecuación de tranferencia radiativa quedaría

dIλ/λ= Iλ

que tiene una solución de atenuación exponencial de la intensidad

Iλ(τλ) = Iλ) exp (-(τλ) )

conocida como Ley de Beer-Lambert

Equilibrio termodinámico local

Con la aproximación de equilibrio termodinámico local, podemos asumir que la función fuente es la función de Planck de emisión de cuerpo negro B(T), con lo que seremos capaces de extraer la estructura de temperaturas de la atmósfera, que es lo que al final nos interesa. Por tanto, la ecuación de transferencia radiativa podremos ponerla como

dIλ/λ= Iλ – Bλ(T)

Aproximación plano-paralela

La aproximación plano-paralela consiste en asumir que las temperaturas y composición de la atmósfera varía exclusivamente en función de la altitud (presión). Podemos así definir la variación del grosor óptico en la dirección vertical (obviando ahora la dependencia con la longitud de onda) como dτ*, de tal manera que el grosor óptico en la dirección θ aumentará en una cantidad dτ = dτ*/cosθ

plano-paralela

La produndidad óptica o grosor óptico se mide desde lo alto de la atmósfera y es máxima al alacanzar la superficie.

Captura de pantalla de 2018-10-06 18-48-27

Aproximación de dos corrientes

En la aproximación de dos corrientes o flujos, consideramos sólo la radiación ascendente y descendente en la atmósfera. Podemos calcular la densidad de flujo en ambos sentidos como la intensidad integrada en un ángulo sólido correspondiente a un hemisferio

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=\int_{2\pi } I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},cos\theta )\; cos\theta\; d\Omega

con el ángulo sólido diferencial dado por

dΩ = senθ dθ dφ

y la integración correspondiente a un hemisferio con φ variando de 0 a y θ de 0 a π/2

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=2 \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},cos\theta )\; cos\theta\ sen\theta\; d\theta

Aproximación difusa

Para realizar la integración anterior es costumbre calcular el flujo como un promedio de la intensidad procedente de diferentes direcciones que suele aproximan bien con la correspondiente a un ángulos de 53º, es decir

1/cos(53º) = 5/3

Como ésta no es la única aproximación, es típico dejar este valor como una cantidad ajustable D denominada factor de difusividad, de tal manera que tenemos

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=\pi I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},D )

Transferencia radiativa en una atmósfera gris

Con las aproximaciones anteriores, podemos escribir la ecuación de transferencia radiativa para los flujos ascendente y descendente como

\frac{dF^{\uparrow}}{d\tau}=D(F^{\uparrow}-\pi B)

\frac{dF^{\downarrow}}{d\tau}=-D(F^{\downarrow}-\pi B)

La función de Planck nos permitirá introducir la temperatura de la siguiente manera

\pi B(\tau )=\sigma\, T^{4}(\tau)

Modelo radiativo puro

El flujo neto ascendente en una atmósfera donde sólo hay transporte de energía por radiación tiene que ser igual al flujo solar descendente que es constante

F_{net}=F^{\uparrow}-F^{\downarrow}= F_{\odot }

Restando las ecuaciones para flujos ascendentes y descendentes, tenemos que

\frac{F_{net}}{d\tau }=\frac{d(F^{\uparrow}-F^{\downarrow})}{d\tau}= D(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})-2\pi D B = 0

y reorganizando

\pi B = \frac{1}{2}(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})

Sumando ahora las ecuaciones para flujos ascendentes y descendentes

\frac{d(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})}{d\tau }= D(F^{\uparrow}-F^{\downarrow})=DF_{\odot }

que podemos integrar fácilmente como

F^{\uparrow}+F^{\downarrow}=DF_{\odot }\: \tau +constante

En lo alto de la atmósfera (τ=0), tenemos que el flujo descedente es nulo y el ascendente igual al flujo solar (equilibrio radiativo) por lo que podemos determinar la constante tal que

F^{\uparrow}+F^{\downarrow}=F_{\odot }\: (1+D \: \tau)

Resolviendo para los flujos ascendente y descendente,

F^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau)

F^{\downarrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: D \: \tau

Captura de pantalla de 2018 10 06 13 54 04
Figura resumen de flujos ascendentes y descendentes en una atmósfera gris en equilibrio radiativo puro. Fuente Salby 8.5.1

Y utilizando la dependencia de la temperatura de la función de Planck B

\sigma T^{4} = \pi B = \frac{1}{2}(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})= \frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (1+D \: \tau)

que nos resuelve la dependencia buscada de la temperatura con el grosor óptico

T^{4} = \frac{F_{\odot }}{2\, \sigma}\: (1+D \: \tau)

En lo alto de la atmósfera (τ=0) obtenemos el límite isotermo TSkin, que para la atmósfera terrestre es de

T_{Skin}^{4} = \frac{F_{\odot }}{2\, \sigma} = (214 K)^{4}

Para un grosor óptico efectivo D τ = 1, obtenemos la temperatura efectiva de equilibrio térmico

T_{eff}^{4} = \frac{F_{\odot }}{ \sigma} = (255 K)^{4}

A nivel del suelo, el modelo se comporta de manera algo peculiar. El flujo radiativo ascendente a la profundidad óptica del suelo es

F_{g}^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{g})

Este flujo tiene que ser igual a la emisión térmica del suelo

\sigma T_{g}^{4}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{g})

por lo que podemos poner la temperatura del suelo como

T_{g}^{4}=\frac{1}{2}\: T_{eff}^{4}\: (2+D \: \tau_{g})

Sin embargo, la temperatura del aire a medida que nos aproximamos al suelo viene dada, según el modelo, por

T^{4} = \frac{1}{2}\: T_{eff}^{4}\: (1+D \: \tau_{g})

donde queda patente que son distintas y por tanto que existe una discontinuidad en el modelo con una temperatura superficial  mayor que la correspondiente de la capa adyacente de la atmósfera. Por supuesto, dicha discontinuidad es un efecto de un supuesto de equilibrio radiativo puro que no es físicamente plausible, puesto que, como hemos visto, el hecho de que el gradiente de temperatura dT/dz aumente más rápidamente para el equilibrio radiativo que para el equilibrio convectivo produce una inestabilidad convectiva que establece, en el equilibrio, un gradiente adiabático.

Gradiente térmico

Para determinar el gradiente térmico tenemos que establecer la dependencia del grosor óptico con la altitud. Asumiendo una sección eficaz constante con la altitud (una condición que no se cumpliría por ejemplo en el caso de ensanchamiento colisional de la absorción) tendremos que la opacidad es proporcional a la densidad (y por tanto a la presión), que disminuye exponencialmente con la altitud, tal y como habíamos visto en la sección de escala de la atmósfera. Por tanto

τ = τ (z=0) exp (-z/H)

y

T^{4} = T_{Skin}^{4}\: (1+D \: \tau_{0} \, e^{-z/H})

Para el caso terrestre,

T^{4} = (214 K)^{4}\: (1+D \: \tau_{0} \, e^{-z/(8,4 km)})

radiativeeq
Gradiente térmicos resultantes del equilibrio radiativo puro para diferentes valores de la profundidad óptica τ asumiendo D = 5/3. Se compara  con un modelo radiativo-convectivo para τ = 4 (recta discontinua de rayas). Las rectas discontinuas de puntos se corresponden con un gradiente adiabático saturado que indican el límite de estabilidad. Así vemos que más abajo de unos 5 km, el gradiente térmico de equilibrio radiativo para  τ = 4 es totalmente inestable. Fuente de la imagen.

Por último, podemos estimar los flujos ascendente y descendente como

F^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{0} \, e^{-z/H})

F^{\downarrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: D \: \tau_{0} \, e^{-z/H}

Que, para D τ0 = 2 y F_{\odot }= 240W

Captura de pantalla de 2018 10 06 17 39 24
En la imagen de la izquierda podemos ver los flujos ascendente y descendente para D τ0 = 2 y F_{\odot }= 240W  . A la derecha podemos ver el gradiente térmico resultante con el límite isotermo  TSkin = 214 K, el límite de la temperatura del aire a medida al aproximarse al suelo T0 = 282 K y la temperatura de suelo Tg = 303 K. Fuente de la imagen

Con esto hemos resuelto totalmente el problema del gradiente de temperaturas y flujos radiativos en una atmósfera plano-paralela en la aproximación difusa de dos corrientes para un equilibrio radiativo puro.

Este resultado lo habíamos utilizado en varias entradas antes de su formalización:

  • En Modelos de equilibrio radiativo, hicimos una deducción de este modelo a partir de principios básicos y de manera algo informal  a partir de un modelo multicapa discreto de atmósfera donde cada capa estaba caracterizado por su emisividad que extrapolamos a su versión continua.
  • En Atmósferas de planetas imaginarios combinamos este modelo con el gradiente térmico adiabático para crear nuestros primeros modelos radiativo-convectivos triviales aplicados a las atmósferas planetarias para ¡crear una estratosfera! y de paso reproducir el gradiente térmico de Venus.
  • En Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452B utilizamos el modelo para entender el efecto de la gravedad sobre la temperatura superficial de un planeta.

El siguiente paso será formalizar un modelo de equilibrio radiativo-convectivo. Con estas herramientas podremos aproximarnos a muchos problemas interesantes en atmósferas planetarias, desde la introducción de absorbentes condensables como el vapor de agua, la absorción solar del ozono en la estratosfera, el efecto anti-invernadero o el efecto invernadero desbocado por saturación de vapor de agua.

Referencias


Andrews, D. G. 2010, An Introduction to Atmospheric Physics (Cambridge: Cambridge Univ. Press) § 3.7.2

Gerald R. North, Kwang-Yul Kim. 2017. Energy Balance Climate Models. Wiley § 3.3

Pierrehumbert, R. T. 2010, Principles of Planetary Climate (Cambridge: Cambridge Univ. Press) Chapter 4

Robinson, T. D., & Catling, D. C. 2012, AN ANALYTIC RADIATIVE-CONVECTIVE MODEL FOR PLANETARY ATMOSPHERES ApJ, 757, 104

Salby, M. (2012). Physics of the Atmosphere and Climate . Cambridge: Cambridge University Press § 8.5.1

Wallace, J. M. & Hobbs, P. V. 2006, Atmospheric Science: An Introductory Survey (New York: Academic) § 4.5

Formalizando un modelo radiativo de atmósfera planetaria

Modelos de equilibrio radiativo

Los modelos tienen muy mala fama, sobre todo en climatología. De hecho se utilizan todo el tiempo como un argumento del tipo “no podemos saberlo”. Es un argumento falaz, porque siendo cierto que los modelos no reproducen fielmente el mundo real, sí que pueden reproducir características de éste que nos ayudan a comprenderlo mejor. Y los modelos son muy útiles para ver aspectos que no son fáciles de intuir con el comportamiento del sistema real.

Otro de los argumentos que suelo oír por ahí es que uno sólo puede sacar de un modelo lo que pone en él. En un sentido trivial es cierto; Uno no puede por ejemplo esperar que un modelo describa los movimientos convectivos sin en primer lugar no implementa la posibilidad de movimientos verticales de celdas de aire. Pero eso no significa que un modelo no pueda producir resultados útiles —e incluso inesperados— como consecuencias de la interacción entre sus elementos. De hecho, si somos de los que creemos que el mundo funciona según las leyes de la física, eso es justo lo que sucede en el mundo real: a partir de leyes sencillas y la interacción de muchos elementos aparecen comportamiento complejos no implementados en ellas.

Cuando uno empieza a mirar artículos y libros de texto sobre la estructura de la atmósfera, tiene la sensación de que se abusa del modelo de capas de atmósfera gris. Todo el mundo —incluido un servidor— lo utiliza  porque es sencillo. Pero no sólo por eso. Los modelos sencillos nos permiten entender los aspectos básicos y pueden proporcionar las pistas para hacer descubrimientos.

En 1960, Carl Sagan propuso que la elevada temperatura de la superficie de Venus era consecuencias de la existencia de una atmósfera muy opaca debido a los gases de efecto invernadero como el CO2. Carl Sagan utilizó un modelo de equilibrio radiativo elemental de atmósfera gris para elaborar su hipótesis, validada después por los datos.

En esta entrada intentaremos implementar un algoritmo para un modelo multicapa discreto dividiendo la atmósfera en un numero arbitrariamente de capas. La idea es intentar deducir perfiles de temperatura a partir de condiciones de equilibrio radiativo además de la variación del perfil de temperatura al cambiar las propiedades ópticas de la atmósfera, como ocurre al añadir GEI. Veremos también cómo convertir el modelo en continuo.

Algoritmo para un modelo multicapa de atmósfera gris

Vamos a plantear un modelo de equilibrio radiativo tomando como única condición que el el flujo de radiación térmica emitida por la última capa al espacio sea igual al flujo de radiación solar entrante, es decir unos ~240 W/m². Para ello vamos a considera las siguientes cantidades representadas en la figura

multicapa(1)

Nuestro modelo de atmósfera cuenta con n capas caracterizadas por una emisividad ε y una temperatura T. Cada capa por supuesto emite como un cuerpo gris con una densidad de flujo caracterizado por F(i)=ε σ Ti, donde  i es el número de capa.

El flujo total que llega a la capa i desde capas inferiores de la atmósfera está etiquetado como F(i) al igual que el flujo total descendente desde capas superiores está etiquetado como F(i)

El algoritmo va calculando de arriba a abajo todos esos flujos, partiendo de la condición que el flujo total que se emite al espacio a partir de la capa superior sea igual al flujo entrante solar, es decir, unos 240 W/m².

Apliquemos ahora las condiciones de equilibrio y conservación oportunas fijándonos en la capa (n-1) de la figura y generalizando para cualquier capa i

Cada capa absorbe una proporción ε del flujo y transmite una cantidad (1-ε) de éste.

Conservación flujo ascendente y descendente:

F(i+1) = (1-ε) F(i) + F(i+1)   [1a]

F(i) = (1-ε) F(i+1) + F(i+1)   [1b]

Condición de equilibrio radiativo:

ε F(i) + ε F(i+1) = 2 F(i+1)   [2]

Veamos cómo desarrollar el algoritmo. La idea es poner la capa inferior i en función de la capa superior i+1, puesto que conocemos los flujos ascendente y descendente de la capa superior y,  a partir de ella, ir calculando hacia las capas inferiores

La relación [1b] ya está en su forma adecuada para empezar calculando el flujo descendente hacia la capa anterior. Utilizando las ecuaciones [1a] y [2] podemos poner de nuevo el flujo ascendente de la capa inferior en función de los flujos de la superior de tal manera que nos queda:

F(i) = (1-ε) F(i+1) + F(i+1)
F(i) = [2 F(i+1)-ε F(i+1)] / (2-ε)

En la figura a continuación podemos ver el código python implementado en SAGE, al que se pude  acceder pinchando en la imagen.
sagesimplegrayatm

Vemos la representación de la temperatura con la altitud en rojo para el modelo comparado con el gradiente térmico medido en la troposfera de -6.5ºC/km representado en azul.

radiation   SageMathCloud

He reproducido los parámetros que parecen ajustar mejor una temperatura de superficie de 15ºC (288K). Para ello he escalado la emisividad de cada capa según el número de capas utilizado (mayor número de capas, menor emisividad/absortividad por capa) de tal manera que la “cantidad” de atmósfera permanece esencialmente fijada en el modelo.La variable sumepsilon nos da una idea de la “absorción total” de la atmósfera, que no depende del número de capas utilizado. El hecho de que sea mayor que uno debería mantenernos en alerta de no pensarla como una emisividad/absortividad  hasta entender su verdadero significado, lo que haremos más abajo.

La altitud es meramente orientativa, simplemente para situar la lector. Lo cierto es que ese hecho hace que la comparación con el gradiente térmico medido pueda resultar engañosa, así que no se debe utilizar más allás de esa función orientativa.

Como podemos ver, el modelo fracasa estrepitosamente para la troposfera básicamente porque el transporte que energía en esta capa está dominado por convección. Algo que ya sabíamos.

¿Qué podemos aprender de un modelo fallido tan simplificado?

1. La temperatura de la última capa tiende a 214K, la temperatura  “de piel” (skin) de Gold-Humphreys para la estratosfera, que veíamos en la entrada anterior. Lo que tiene todo el sentido: en lo alto de la atmósfera las últimas capas puede entenderse como en equilibrio radiativo con las capas inferiores, que contribuyen a la mayoría del flujo de radiación, con lo que se aplica la misma condición en la deducción para la temperatura de la estratosfera.

2. La dependencia de la temperatura superficial con la “absorción total”de la atmósfera (sumepsilon en el código) es una primera aproximación a la implementación del efecto invernadero amplificado por GEI.

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Vemos que el aumento de la emisividad es del mismo orden que habíamos estimado en el modelo básico de una capa.

3. Parece que no hemos aprendido nada esencialmente nuevo respecto al modelo de una capa, pero ahora empieza lo interesante. Si pensamos un poco en conservación de la energía, una condición para que no se cree ni se destruya energía en cada capa implica que el flujo neto ascendente F(i) F(i) sea idéntico al flujo solar descendente

F(i) F(i) = S ~ 240 W/m²

Este hecho nos proporciona una pista de cómo introducir algún tipo de calentamiento local del tipo que produce la absorción de ozono en la estratosfera, de tal forma que si introducimos una dependencia de la emisividad con la altitud podemos observar la variación del flujo neto ascendente. El lector puede imprimir por pantalla el resultado del flujo neto variando la dependencia de la emisividad con la altura, por ejemplo haciendo dicha variación proporcional al número de capa como prueba y comprobar este hecho.

4. Las relaciones [1a] y [1b] se parecen sospechosamente a las ecuaciones de Schwarzchild en la aproximación de dos flujos proporcionadas en todo los textos estándar sobre transferencia radiativa.

dF/dτ = F – B(T)

dF/dτ = -F + B(T)

donde τ es la profundidad óptica y B(T) es la emisión térmica característica de un cuerpo negro cuya densidad de flujo hemos utilizado todo el tiempo como σ T⁴.

La profundidad óptica (a veces denominada también grosor óptico) está relacionada con la transmitancia . Es una magnitud definida a partir de la Ley de Beer-Lambert como la relación entre el cambio de intensidad y la intensidad inicial de la radiación que atraviesa un determinado grueso de material, provocando una atenuación exponencial, de tal manera, que podemos poner la transmitancia como

t = e-τ  ⇒  ε = 1-t = 1-e

Esta relación implica que la emisividad no es una cantidad independiente, sino que depende de la profundidad óptica de la atmósfera. En nuestro modelo, esta profundidad óptica está fijada por el parámetro sumepsilon que a su vez determina la emisividad de cada capa (ver más abajo).

Nos hemos metido así de lleno y casi sin pretenderlo en la teoría de transporte radiativo en las atmósferas planetarias, una disciplina realmente confusa en su terminología y que se remonta a los trabajo de  Arthur Schuster y Karl Schwarzschild de mediados de la primera década del siglo XX sobre la atmósfera solar. Schuster fue probablemente el primero en utilizar la aproximación de dos flujos en su artículo de 1905.

Para algunas personas (entre las que me incluyo) es más intuitivo partir de un modelo sencillo como el planteado para trabajar posteriormente con la teoría  en su formulación dada en todos los libros de texto, mucho más abstracta.

Solución analítica para el perfil de temperaturas en una atmósfera gris en equilibrio radiativo puro

Condición de equilibro térmico: no hay creación local de flujo, lo que se traduce en la constancia del flujo neto que habíamos visto anteriormente.

dFnet/dz = 0dFnet/dτ =0 ⇒ Fnet = F F(i) = cte = F0 ~ 240 W/m²

donde cambiamos la notación de F0 en lugar de S para el flujo neto en lo alto de la atmósfera (τ →0). dFnet/dz es la variación del flujo neto con la altitud. Del hecho de que la profundidad óptica sea una función de la altitud, se sigue la relación anterior

Podemos combinar las dos ecuaciones de Schwarzchild, restándola y sumándolas para obtener respectivamente el flujo neto y el flujo total, de la siguiente manera

d(F-F)/dτ = F+F– 2B(T) ⇒ dFnet/dτ = Ftot – 2B(T) = 0 ⇒ Ftot = 2 σ T⁴

d(F+F)/dτ = F+F= S ⇒ dFtot/dτ = Fnet = F0

La segunda ecuación puede integrarse de manera muy sencilla como

Ftot =F0 τ +cte  ⇒ Ftot =F0 (τ+1)

donde hemos aplicado la condición de que el flujo total en lo alto de la atmósfera (τ →0) sea igual a F0

Utilizando la relación entre temperatura y flujo total, obtenemos la solución para el perfil de temperatura en función de la profundidad óptica.

Ftot = 2 σ T⁴ = F0 (τ+1) ⇒ T⁴ = (F0 /2 σ) ( τ+1) = ( τ+1) (214 K)⁴

Para la temperatura de superficie de 288 K, tenemos que

( τs+1) = (288K/214 K)⁴ = 3.28 ⇒ τs ~ 2.3

una cantidad que nos debería sonar. Se trata nada más y nada menos que nuestra “absorción total” del modelo (nuestro sumepsilon en el código) que habíamos determinado simplemente como cantidad que mejor ajustaba la temperatura superficial.

Para hacer compatible nuestra solución numérica con esta solución analítica, tenemos que representar la variación de τ con la altitud como

τ / τs = 1 – z/H

donde H es la escala arbitraria de la troposfera que nosotros habíamos elegido como 12 km a efectos de visualización orientativa.

Problemas con el modelo

1. El primer problema grave de nuestro modelo es que la temperatura del suelo presenta una discontinuidad respecto a la temperatura de la atmósfera calculada al nivel de superficie. La superficie emite como un cuerpo negro con un flujo ascendente dado por

Fs =(Ftot +Fnet)/2 = F0 s +2)/2 = 2.15 F0 ⇒ Ts = (2.15 F0 /σ)1/4

= (2.15)1/4 Teff = (2.15)1/4 255 K ~ 308 K

Lo que implica una discontinuidad entre la temperatura superficial y las primeras capas de la atmósfera que obviamente no ocurre en el mundo real y que no fue representada en nuestro modelo numérico.

2. El gradiente térmico implica que la temperatura efectiva de emisión, es decir, aquella capa de la atmósfera que emite a 255 K y cuya emisión equivale al flujo solar entrante, se encuentra a una altitud de

heff = (255K-288K)/(-6.5 K/km) ~ 5 km

en nuestro modelo, tenemos que la profundidad óptica efectiva es de

( τeff+1) = (255K/214 K)⁴ ~ 2 ⇒τeff ~ 1

equivalente a un altitud de

heff = H (1 – τ / τs ) = 12 km (1-1/2.3) ~ 6.8 km

mucho más elevado que en la troposfera real. Podríamos por supuesto reajustar la altitud en el modelo para que la altitud efectiva coincidiese con el valor real a algo menos de unos 9 km.

3. Al representar la altitud en nuestro modelo estamos asumiendo que la profundidad óptica disminuye linealmente con la altitud. Lo cierto es que tiene mucho más sentido que lo haga con la presión que a su vez depende de la densidad. Es típico en los libros de texto (por ejemplo Andrews 2010 y Salby 2012 en las referencias) asumir una variación exponencial de la profundidad óptica con la altitud.

τ = τs exp(-z/H)

Lo que nos lleva a las curvas típicas que vemos en la bibliografía de equilibrio radiativo (curva verde en el siguiente gráfico)

radiation   SageMathCloud(3)

Un ejemplo es que podemos ver en la fig. 8.21 de Salby 2012

salby

Eso además implica que sea mucho más frecuente representar el perfil de temperatura en función de la presión y no de la altitud.

4. Salby 2012 menciona una profundidad óptica típica en la superficie terrestre de 4. Nuestro modelo con τs =2.3  falla también ahí. Y falla más de lo que parece. En lo que se denomina la aproximación difusa, se utiliza un flujo vertical de radiación que tiene que contar el hecho de que la radiación incide con diferentes ángulos. Se suele utilizar una factor de peso de entre 1.5 y 2 (habitualmente 1.66) para calibrar la profundidad óptica, lo que significa que todas las profundidades ópticas calculadas anteriormente habría que dividirlas por 1.66 para tener los valores de las profundidades ópticas sin calibrar, lo que significa que la de nuestro modelo es τs =2.3/1.66 ~ 1.4

A modo de resumen

Hemos aprendido a formular un modelo de equilibrio radiativo multicapa continuo que nos ha permitido calcular un perfil de temperaturas (poco realista) para la atmósfera, tanto numéricamente como analíticamente. De paso hemos introducido varios conceptos fundamentales del transporte radiativo en las atmósferas planetarias:

  1. La ley de Beer-Lambert que nos ha permitido definir una cantidad fundamental como la profundidad óptica.
  2. Las ecuaciones de Schwarzchild en la aproximación de dos flujos en una atmósfera plano-pararela.
  3. La dependencia de la temperatura superficial con la profundidad óptica de la atmósfera.
  4. La relevancia de considerar τeff ~ 1 para establecer la altitud efectiva de emisión y definir atmósferas con τ << 1 como ópticamente delgadas y con τ > 1 como ópticamente gruesas.

El próximo paso será crear un modelo de equilibrio convectivo-radiativo para mejorar los perfiles de temperatura de la troposfera-tropopausa. La idea es avanzar en la línea de Robinson-Catling 2012.

[Actualización del 6/10/2018] Publicada entrada con el modelo formalizado a partir de las definiciones básicas de transferencia radiativa en la atmósfera.

Referencias


Modelos de equilibrio radiativo