Formalizando un modelo radiativo de atmósfera planetaria

Hasta ahora hemos utilizado muchos conceptos de transferencia radiativa en la atmósfera de manera algo laxa con el objetivo de centrarnos en las propiedades de la atmósfera más en que en la formalización de los conceptos. Pero hay un determinado momento en que esa ausencia de formalización puede llevar a cierta confusión, como nos ha sucedido de hecho con los conceptos de opacidad y grosor óptico.

Hagamos entonces el trabajo algo más árido de las definiciones concretas.

Equilibrio hidrostático

La condición de equilibrio hidrostático relaciona, como ya sabemos, la variación de la presión con la altitud en función de la densidad ρ del gas de la atmósfera y la aceleración de la gravedad g del planeta en cuestión

dP/dz = – ρ g

Escala de la atmósfera

Si introducimos la ecuación de estado de los gases de la atmósfera con la aproximación de gas ideal,

 P  =   ρ/μ RT

donde μ es el peso molecular medio, T la temperatura y R la constante de los gases ideales, obtendremos una nueva expresión de la ecuación de equilibrio hidrostático

dP/dz = -gμ P/RT

donde podemos definir una cantidad con dimensiones de longitud

H =  RT/gμ

a la que se suele denominar escala de la atmósfera, de tal manera que podemos escribir la relación anterior en función de la escala como

dP/dz = – P/H

Puesto que la presión varía de manera exponencial, mientras que la temperatura lo hace linealmente, podemos aproximar una solución isoterma de la variación de la presión con la altitud como

P = P(z=0) exp (-z/H)

En el gráfico a continuación podemos ver la diferencia entre la variación de la presión con la altitud en la aproximación isoterma (rojo) y considerando el gradiente térmico de la troposfera (-6.5ºC/km). Se aprecia que en la troposfera se corresponde con una aproximación excelente.

atmos
Fuente de la imagen.

Para una temperatura superficial media de unos 15ºC (288 K) y una masa media molecular de 0,78 × 28 + 0,21 × 32 + 0,01 × 40 ≈ 29 g/mol (78% N2, 21%O2 y 1% Ar)

H =8.31 J⋅mol⁻¹⋅K⁻¹ 288K/(9,81 m s⁻² 0,029 kg mol⁻¹) ∼ 8400 m = 8,4 km

una altitud típica (muy próxima a la cima del Everest) donde la mayoría del peso (1-1/e = 0,63) de la atmósfera se encuentra por debajo, asumiendo de nuevo una disminución exponencial de la presión (densidad) con la altitud.

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Fuente de la imagen

El supuesto de variación exponencial de la presión con la altitud puede no ser una buena aproximación en algunas atmósferas como la de Plutón, donde las fuertes variaciones de la temperatura con la altitud cambia a su vez la escala de la atmósfera, que puede pasar de unos 20 km en las capas bajas a unos 60 km en altitudes entre los 30 y los 100 km.

Opacidad y grosor óptico

Cuando miramos un objeto situado a una distancia d a través de la niebla , podemos definir el grosor óptico τ del medio de opacidad k, atravesado por la luz proceden del objeto, como

τ = k d

En un medio de mayor opacidad (por ejemplo cuando hay más niebla en la línea de visión), el grosor óptico será mayor en proporción a las opacidades del medio.

Captura de pantalla de 2018 09 23 18 16 33

Por supuesto, la opacidad (y por tanto el grosor óptico) dependerá de las propiedades de absorción del medio que varían con la longitud de onda λ de la radiación, por lo que sería más apropiado expresar la anterior relación como

τλ = kλ d

haciendo explícita esta dependencia. La aproximación gris consiste precisamente en obviar dicha dependencia de la longitud de onda.

Seguimos por supuesto sin definir opacidad, pero entenderemos su significado más abajo en función de la atenuación de la intensidad de la radiación al atravesar un medio material.

Camino libre medio de los fotones

Un fotón de radiación infrarroja que atraviesa la atmósfera se encontrará con un medio de moléculas absorbentes como el CO2

crosssection

Al recorre una distancia L podrá ser absorbido por cualquiera de las moléculas con las que se encuentra (en verde en la imagen). Para una densidad de partículas N por unidad de volumen, el número de colisiones puede calcularse como

N π r² L

donde σ = π r² es lo que suele denominarse sección eficaz y nos da una idea de la superficie efectiva de interacción.

La opacidad es precisamente el número de colisiones por unidad de longitud, por lo que podemos poner

kλ = N σλ

haciendo explícita de nuevo la dependencia de la longitud de onda.

Otra cantidad interesante es el camino libre medio lλ , es decir, la distancia que puede viajar el fotón en promedio antes de ser absorbido por el medio. Podemos calcularlo como la distancia recorrida dividida entre el número de colisiones producido en el recorrido, es decir,

lλ = L/(N σλ L) = 1/(N σλ) = 1/kλ

Es decir, el camino libre medio no es más que el inverso de la opacidad.

Si ahora calculamos el grosor óptico  para el recorrido libre medio del fotón, obtenemos un resultado importante

τλ = kλ lλ = kλ  1/kλ = 1

con lo que ahora entendemos perfectamente el significado de un grosor óptico igual a la unidad.

Cuando miramos la atmósfera desde arriba, los fotones infrarrojos que estamos viendo proceden en promedio de una altitud con τλ= 1, un resultado que ya habíamos utilizado previamente en varias ocasiones.

Ecuación de transferencia radiativa (Ecuación de Schwarzchild)

Cuando la radiación atraviesa la atmósfera en una dirección arbitraria, el principio de conservación de la energía nos obliga a establecer que el cambio de intensidad dIλ debe ser igual a la radiación emitida en el recorrido jλ ds menos la radiación absorbida kλ Iλ ds

Captura de pantalla de 2018-09-23 19-58-28

Podemos introducir el grosor óptico durante el recorrido diferencial ds como

λ = -kλ  ds

donde el signo menos se introduce para indicar que el grosor óptico aumenta con la profundidad en la atmósfera, por lo que el movimiento de la radiación en altitud implica una disminución de esta cantidad. De esa forma, el grosor óptico será máximo en la superficie y cero a una altitud arbitrariamente elevada.

La ecuación de transferencia radiativa queda entonces como

dIλ = -(jλ/kλ – Iλ) (-kλ ds) = (Iλ – Sλ) dτλ

o escrita de otra manera,

dIλ/λ= Iλ – Sλ

A la cantidad Sλ = jλ/kλ se le suele denominar función fuente.

Ley de Beer-Lambert

En el caso de que no hay emisión, sólo absorción, la ecuación de tranferencia radiativa quedaría

dIλ/λ= Iλ

que tiene una solución de atenuación exponencial de la intensidad

Iλ(τλ) = Iλ) exp (-(τλ) )

conocida como Ley de Beer-Lambert

Equilibrio termodinámico local

Con la aproximación de equilibrio termodinámico local, podemos asumir que la función fuente es la función de Planck de emisión de cuerpo negro B(T), con lo que seremos capaces de extraer la estructura de temperaturas de la atmósfera, que es lo que al final nos interesa. Por tanto, la ecuación de transferencia radiativa podremos ponerla como

dIλ/λ= Iλ – Bλ(T)

Aproximación plano-paralela

La aproximación plano-paralela consiste en asumir que las temperaturas y composición de la atmósfera varía exclusivamente en función de la altitud (presión). Podemos así definir la variación del grosor óptico en la dirección vertical (obviando ahora la dependencia con la longitud de onda) como dτ*, de tal manera que el grosor óptico en la dirección θ aumentará en una cantidad dτ = dτ*/cosθ

plano-paralela

La produndidad óptica o grosor óptico se mide desde lo alto de la atmósfera y es máxima al alacanzar la superficie.

Captura de pantalla de 2018-10-06 18-48-27

Aproximación de dos corrientes

En la aproximación de dos corrientes o flujos, consideramos sólo la radiación ascendente y descendente en la atmósfera. Podemos calcular la densidad de flujo en ambos sentidos como la intensidad integrada en un ángulo sólido correspondiente a un hemisferio

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=\int_{2\pi } I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},cos\theta )\; cos\theta\; d\Omega

con el ángulo sólido diferencial dado por

dΩ = senθ dθ dφ

y la integración correspondiente a un hemisferio con φ variando de 0 a y θ de 0 a π/2

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=2 \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},cos\theta )\; cos\theta\ sen\theta\; d\theta

Aproximación difusa

Para realizar la integración anterior es costumbre calcular el flujo como un promedio de la intensidad procedente de diferentes direcciones que suele aproximan bien con la correspondiente a un ángulos de 53º, es decir

1/cos(53º) = 5/3

Como ésta no es la única aproximación, es típico dejar este valor como una cantidad ajustable D denominada factor de difusividad, de tal manera que tenemos

F^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*})=\pi I^{\uparrow \downarrow}(\tau ^{*},D )

Transferencia radiativa en una atmósfera gris

Con las aproximaciones anteriores, podemos escribir la ecuación de transferencia radiativa para los flujos ascendente y descendente como

\frac{dF^{\uparrow}}{d\tau}=D(F^{\uparrow}-\pi B)

\frac{dF^{\downarrow}}{d\tau}=-D(F^{\downarrow}-\pi B)

La función de Planck nos permitirá introducir la temperatura de la siguiente manera

\pi B(\tau )=\sigma\, T^{4}(\tau)

Modelo radiativo puro

El flujo neto ascendente en una atmósfera donde sólo hay transporte de energía por radiación tiene que ser igual al flujo solar descendente que es constante

F_{net}=F^{\uparrow}-F^{\downarrow}= F_{\odot }

Restando las ecuaciones para flujos ascendentes y descendentes, tenemos que

\frac{F_{net}}{d\tau }=\frac{d(F^{\uparrow}-F^{\downarrow})}{d\tau}= D(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})-2\pi D B = 0

y reorganizando

\pi B = \frac{1}{2}(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})

Sumando ahora las ecuaciones para flujos ascendentes y descendentes

\frac{d(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})}{d\tau }= D(F^{\uparrow}-F^{\downarrow})=DF_{\odot }

que podemos integrar fácilmente como

F^{\uparrow}+F^{\downarrow}=DF_{\odot }\: \tau +constante

En lo alto de la atmósfera (τ=0), tenemos que el flujo descedente es nulo y el ascendente igual al flujo solar (equilibrio radiativo) por lo que podemos determinar la constante tal que

F^{\uparrow}+F^{\downarrow}=F_{\odot }\: (1+D \: \tau)

Resolviendo para los flujos ascendente y descendente,

F^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau)

F^{\downarrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: D \: \tau

Captura de pantalla de 2018 10 06 13 54 04
Figura resumen de flujos ascendentes y descendentes en una atmósfera gris en equilibrio radiativo puro. Fuente Salby 8.5.1

Y utilizando la dependencia de la temperatura de la función de Planck B

\sigma T^{4} = \pi B = \frac{1}{2}(F^{\uparrow}+F^{\downarrow})= \frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (1+D \: \tau)

que nos resuelve la dependencia buscada de la temperatura con el grosor óptico

T^{4} = \frac{F_{\odot }}{2\, \sigma}\: (1+D \: \tau)

En lo alto de la atmósfera (τ=0) obtenemos el límite isotermo TSkin, que para la atmósfera terrestre es de

T_{Skin}^{4} = \frac{F_{\odot }}{2\, \sigma} = (214 K)^{4}

Para un grosor óptico efectivo D τ = 1, obtenemos la temperatura efectiva de equilibrio térmico

T_{eff}^{4} = \frac{F_{\odot }}{ \sigma} = (255 K)^{4}

A nivel del suelo, el modelo se comporta de manera algo peculiar. El flujo radiativo ascendente a la profundidad óptica del suelo es

F_{g}^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{g})

Este flujo tiene que ser igual a la emisión térmica del suelo

\sigma T_{g}^{4}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{g})

por lo que podemos poner la temperatura del suelo como

T_{g}^{4}=\frac{1}{2}\: T_{eff}^{4}\: (2+D \: \tau_{g})

Sin embargo, la temperatura del aire a medida que nos aproximamos al suelo viene dada, según el modelo, por

T^{4} = \frac{1}{2}\: T_{eff}^{4}\: (1+D \: \tau_{g})

donde queda patente que son distintas y por tanto que existe una discontinuidad en el modelo con una temperatura superficial  mayor que la correspondiente de la capa adyacente de la atmósfera. Por supuesto, dicha discontinuidad es un efecto de un supuesto de equilibrio radiativo puro que no es físicamente plausible, puesto que, como hemos visto, el hecho de que el gradiente de temperatura dT/dz aumente más rápidamente para el equilibrio radiativo que para el equilibrio convectivo produce una inestabilidad convectiva que establece, en el equilibrio, un gradiente adiabático.

Gradiente térmico

Para determinar el gradiente térmico tenemos que establecer la dependencia del grosor óptico con la altitud. Asumiendo una sección eficaz constante con la altitud (una condición que no se cumpliría por ejemplo en el caso de ensanchamiento colisional de la absorción) tendremos que la opacidad es proporcional a la densidad (y por tanto a la presión), que disminuye exponencialmente con la altitud, tal y como habíamos visto en la sección de escala de la atmósfera. Por tanto

τ = τ (z=0) exp (-z/H)

y

T^{4} = T_{Skin}^{4}\: (1+D \: \tau_{0} \, e^{-z/H})

Para el caso terrestre,

T^{4} = (214 K)^{4}\: (1+D \: \tau_{0} \, e^{-z/(8,4 km)})

radiativeeq
Gradiente térmicos resultantes del equilibrio radiativo puro para diferentes valores de la profundidad óptica τ asumiendo D = 5/3. Se compara  con un modelo radiativo-convectivo para τ = 4 (recta discontinua de rayas). Las rectas discontinuas de puntos se corresponden con un gradiente adiabático saturado que indican el límite de estabilidad. Así vemos que más abajo de unos 5 km, el gradiente térmico de equilibrio radiativo para  τ = 4 es totalmente inestable. Fuente de la imagen.

Por último, podemos estimar los flujos ascendente y descendente como

F^{\uparrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: (2+D \: \tau_{0} \, e^{-z/H})

F^{\downarrow}=\frac{1}{2}\: F_{\odot }\: D \: \tau_{0} \, e^{-z/H}

Que, para D τ0 = 2 y F_{\odot }= 240W

Captura de pantalla de 2018 10 06 17 39 24
En la imagen de la izquierda podemos ver los flujos ascendente y descendente para D τ0 = 2 y F_{\odot }= 240W  . A la derecha podemos ver el gradiente térmico resultante con el límite isotermo  TSkin = 214 K, el límite de la temperatura del aire a medida al aproximarse al suelo T0 = 282 K y la temperatura de suelo Tg = 303 K. Fuente de la imagen

Con esto hemos resuelto totalmente el problema del gradiente de temperaturas y flujos radiativos en una atmósfera plano-paralela en la aproximación difusa de dos corrientes para un equilibrio radiativo puro.

Este resultado lo habíamos utilizado en varias entradas antes de su formalización:

  • En Modelos de equilibrio radiativo, hicimos una deducción de este modelo a partir de principios básicos y de manera algo informal  a partir de un modelo multicapa discreto de atmósfera donde cada capa estaba caracterizado por su emisividad que extrapolamos a su versión continua.
  • En Atmósferas de planetas imaginarios combinamos este modelo con el gradiente térmico adiabático para crear nuestros primeros modelos radiativo-convectivos triviales aplicados a las atmósferas planetarias para ¡crear una estratosfera! y de paso reproducir el gradiente térmico de Venus.
  • En Gravedad y efecto invernadero en Kepler 452B utilizamos el modelo para entender el efecto de la gravedad sobre la temperatura superficial de un planeta.

El siguiente paso será formalizar un modelo de equilibrio radiativo-convectivo. Con estas herramientas podremos aproximarnos a muchos problemas interesantes en atmósferas planetarias, desde la introducción de absorbentes condensables como el vapor de agua, la absorción solar del ozono en la estratosfera, el efecto anti-invernadero o el efecto invernadero desbocado por saturación de vapor de agua.

Referencias


Andrews, D. G. 2010, An Introduction to Atmospheric Physics (Cambridge: Cambridge Univ. Press) § 3.7.2

Gerald R. North, Kwang-Yul Kim. 2017. Energy Balance Climate Models. Wiley § 3.3

Pierrehumbert, R. T. 2010, Principles of Planetary Climate (Cambridge: Cambridge Univ. Press) Chapter 4

Robinson, T. D., & Catling, D. C. 2012, AN ANALYTIC RADIATIVE-CONVECTIVE MODEL FOR PLANETARY ATMOSPHERES ApJ, 757, 104

Salby, M. (2012). Physics of the Atmosphere and Climate . Cambridge: Cambridge University Press § 8.5.1

Wallace, J. M. & Hobbs, P. V. 2006, Atmospheric Science: An Introductory Survey (New York: Academic) § 4.5

Formalizando un modelo radiativo de atmósfera planetaria